de açúcar são dissolvidos em 500 Kg de água em um tanque cilíndrico aberto de pouca profundidade. Após permanecer por 10 dias no tanque, 300 Kg da solução de açúcar são removidas. Você esperaria que, após a retirada, haja ainda 300 Kg de solução de açúcar no tanque?
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou listar cada informação para ficar claro o que temos e o que é pedido):
- Foi dissolvida uma certa massa de açúcar, que vou chamar de
S , ( ). O enunciado original mostra “ 2-100\ \mathrm{Kg}))”, mas para manter a generalidade eu trato essa massa como S (mais abaixo mostro um exemplo numérico se preferir). - Foi adicionada
500\ \mathrm{kg})) de água ao tanque. - O tanque é cilíndrico, aberto e de pouca profundidade — o ponto importante aqui é que ele está aberto, portanto pode haver evaporação de água.
- Depois de permanecer
dias no tanque, foram retirados 300\ \mathrm{kg})) da solução (ou seja, retirou-se de mistura água + açúcar). - A pergunta: “Você esperaria que, após a retirada, haja ainda
de solução de açúcar no tanque?” — ou seja, se após tirar da solução, o que sobra no tanque seria exatamente de solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a massa inicial de soluto é
S
, a massa inicial de água é
500\ \mathrm{kg}), o sistema ficou exposto (evaporação possível), e foi removida uma porção de
300\ \mathrm{kg}) de solução. A resolução começa agora.
Passo 2
Princípio físico/ideia-chave: conservação da massa e volatilidade do componente.
- Explicando devagar: açúcar é um soluto não volátil no problema (não evapora sob condições normais da cena). Isso significa que, enquanto a solução ficar exposta ao ar, apenas a água pode evaporar; a massa de açúcar dissolvido permanece constante ao longo do tempo (não some no ar).
- Em símbolos: a massa de açúcar permanece
S durante todo o tempo (antes e depois da evaporação e da retirada). - A água inicial é
500\ \mathrm{kg}). Se uma quantidade E de água evaporou durante os dias, a massa de água que resta imediatamente antes da retirada é 500 - E (onde E\ge 0 ).
Esse conceito é essencial: evapora-se água, não açúcar, portanto a concentração de açúcar aumenta com a evaporação.
Passo 3
Escrever a massa total da solução imediatamente antes da retirada de
.
- Massa total antes da retirada (vou chamar de
T’ ) é soma do açúcar que permanece com a água que resta:
- Aqui
S é a massa de açúcar (constante), 500 - E é a massa de água presente após evaporação, e E é a massa de água evaporada nos dias.
Observação didática: se não houvesse evaporação,
E=0
e então
T’=S+500
. Mas como o tanque é aberto, normalmente
E>0
.
Passo 4
Calcular quanto fica na cisterna depois de remover
de solução.
- Se você retira
da solução que tem massa T’ , o que sobra é
- Substituindo
T’ da etapa anterior:
Interpretação: a massa que resta no tanque depende de
S
(quantidade de açúcar que foi colocada) e de
E
(quanto de água evaporou). Se
E
for grande, sobra menos massa; se
E
for pequena, sobra mais massa.
Passo 5
Verificar a condição para que, depois da retirada, sobre exatamente
.
- Queremos saber quando
. Usando a fórmula de cima:
- Resolvendo para
E :
- Ou de outra forma: para que reste exatamente
após a retirada, a evaporação em dias teria de ter sido exatamente E = S - 100 quilogramas de água.
Explicando em palavras: não é uma identidade automática — só acontece se a água perdida por evaporação tiver um valor bem preciso relacionado à massa inicial de açúcar. Se a evaporação for diferente desse valor, o que sobra não será
.
Passo 6
Dar exemplos numéricos (para fixar a ideia) e mostrar que o resultado pode ser maior ou menor que
.
- Exemplo 1 (tomando um valor plausível para
S ): suponha S = 200\ \mathrm{kg}) (isso corresponderia a ter inicialmente de açúcar). Então a condição para sobrar é
Isto é: somente se evaporarem exatamente
de água nos
dias, ao retirar
restariam
.
- Exemplo 2 (mais evaporação): se, nesse mesmo caso
S=200 , evaporou-se E=150\ \mathrm{kg}) de água, então
ou seja, sobra apenas
, menos que
.
- Exemplo 3 (menos evaporação): se evaporou pouco, digamos
E=20\ \mathrm{kg}), então
ou seja, sobra
, mais que
.
Conclusão desses exemplos: dependendo de quanto de água evaporou, o que fica depois da retirada pode ser menor, igual ou maior que
. Não há razão física para garantir que será exatamente
sem informação sobre
E
.
Passo 7
Resumo final e intuição prática (para hora de prova):
- A massa de açúcar não muda com evaporação; apenas a água diminui.
- Depois de
dias, a massa total disponível antes de retirar os é T’ = S + 500 - E . - Depois de retirar os
, sobra R = S + 200 - E . - Para que reste exatamente
é necessário que E = S - 100 . Sem saber E (ou sem controlar a evaporação) não dá para esperar que isso ocorra. Na prática, como a evaporação depende de temperatura, vento, área exposta etc., não é razoável assumir que vai coincidir com esse valor.
Força aí — a resposta é curta e lógica: não é garantido. Se precisar, eu faço o mesmo raciocínio usando o valor numérico que você entende por “
2-100\ \mathrm{Kg})” (se você quis dizer
200\ \mathrm{kg}) eu repito com esse número fixo).
Resposta
Não. Só restariam exatamente
se a evaporação nos
dias tivesse sido exatamente
(por exemplo, para
seria preciso
); sem essa condição a massa remanescente será diferente de
.