Questão 5: Qual o volume molar do
-hexano a 660 K e 91 bar de acordo com (a) a equação dos gases ideais e (b) a equação de van der Waals? (c) Utilize os resultados obtidos nos itens anteriores para calcular o fator de compressibilidade. Para o
-hexano:
e
bar
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) o volume molar do n-hexano a
e usando a equação dos gases ideais; - (b) o volume molar na mesma condição usando a equação de van der Waals;
- (c) usar os resultados anteriores para calcular o fator de compressibilidade.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vou usar a constante universal dos gases na forma conveniente:
Não há outras informações (por exemplo volume molar experimental) — resolvemos com as equações mencionadas e calculamos o fator de compressibilidade a partir dos volumes obtidos.
Passo 2
(a) Equação dos gases ideais — fórmula e explicação didática:
A equação dos gases ideais relaciona pressão , volume molar
, temperatura
e a constante dos gases
por
A equação dos gases ideais relaciona pressão
Aqui:
-
é a pressão (em ), -
é o volume molar que queremos (em ), -
é a constante já dada, -
é a temperatura em .
Para achar
isolamos:
Passo 3
(a) Cálculo numérico do volume molar pelo gás ideal, passo a passo:
Calcule :
Calcule
Agora
(Arredondei para quatro casas decimais; os passos mostram os valores intermediários.)
Passo 4
(b) Equação de van der Waals — apresentação e como obter os parâmetros:
A equação de van der Waals para uma mol é
A equação de van der Waals para uma mol é
onde
e
são constantes específicas da substância que corrigem, respectivamente, as forças intermoleculares (termo
) e o volume ocupado pelas moléculas (termo
).
Para obter
e
a partir dos dados críticos usa-se as relações críticas da vdW:
Isolando
a partir de
e
(passo padrão):
E então
Vou calcular
e
numericamente com os dados fornecidos.
Passo 5
Cálculo numérico de
e
(detalhado):
Calcule :
Calcule
Primeiro
.
E .
Logo
E
Logo
Agora
:
Calcule
(aprox).
Então
Então
(Arredondei
para três algarismos significativos pertinentes; mantive nos cálculos internos mais dígitos.)
Passo 6
Resolver a equação de van der Waals para
— estratégia e fórmula usada:
A equação que vamos resolver é
A equação que vamos resolver é
Isto é uma equação cúbica em
. Para encontrarmos a raiz física (volume molar positivo, compatível com condição supercrítica aqui
), uso o método de Newton–Raphson porque é rápido e prático manualmente com poucos passos: dado um palpite
, a atualização é
onde derivada
Explico: derivei aplicando a regra do produto para
. Isso dá o termo
(derivada de
) mais a derivada do termo com
, que resulta na forma indicada.
Vou usar como chute inicial o valor ideal
(é um bom palpite) e iterar até convergência numérica razoável.
Passo 7
Iterações de Newton-Raphson (detalhadas, mostrando avaliação de
e
):
-
Chute inicial
.
Calculei(positivo), então ajustar para menor volume. -
Teste
(um palpite mais próximo).
Avaliação aproximada:
Aplicando Newton:
- Avaliação final (verificação): inserindo
na função obtém-se
com diferença numérica praticamente zero dentro da precisão apresentada. Portanto a solução convergiu para
(Arredondei para cinco cifras significativas na convergência; mostrei as etapas para que você consiga reproduzir na prova com uma iteração ou duas.)
Passo 8
(c) Fator de compressibilidade
— definição, uso e cálculos:
O fator de compressibilidade é definido por
O fator de compressibilidade é definido por
Interpretação:
indica comportamento ideal;
mostra efeito atrativo predominante (volume menor que o ideal) e
efeito repulsivo predominante.
Usando
(resultado do item (a)):
Usando
:
Calculei .
Já .
Logo
Calculei
Já
Logo
Isto significa que, segundo o modelo de van der Waals, o n-hexano nesta condição está menos comprimível que o ideal (ou seja, o volume real é menor que o predito pelo gás ideal, por forças atrativas dominantes).
Resposta
(a)
(b)
(c)