Uma fábrica produz peças com diâmetro nominal de 10 cm . Sabe-se que o diâmetro das peças segue uma distribuição normal com média 10 cm e desvio padrão 0,2 \mathrm{~cm}. Qual a porcentagem de peças que estão fora da tolerância de \pm 0,3 \mathrm{~cm} ?
Passo 1
O que o problema pede: qual a porcentagem de peças cuja medida do diâmetro está fora da tolerância de \pm 0,3\\ \mathrm{cm} em relação ao valor nominal de 10\\ \mathrm{cm}.
Informações dadas:
média do diâmetro: \mu=10\\ \mathrm{cm};
desvio padrão: \sigma=0,2\\ \mathrm{cm};
tolerância: \pm 0,3\\ \mathrm{cm} (ou seja, peças aceitáveis têm diâmetro entre 10-0,3 e 10+0,3);
precisamos calcular a porcentagem de peças que ficam fora desse intervalo.
Passo 2
Traduzindo a pergunta em probabilidade: se X é o diâmetro (variável aleatória), queremos a probabilidade de estar fora do intervalo aceitável, isto é
P(\text{fora})=P(|X-10|>0,3).
Isto significa "a probabilidade de que a distância entre X e a média 10 seja maior que 0,3".
Passo 3
Para trabalhar com a normal é comum padronizar (transformar para a normal padrão). Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem média 0 e desvio padrão 1. Aplicando essa transformação ao evento que queremos:
Expliquei cada símbolo: X é o diâmetro, \mu=10 é a média, \sigma=0,2 é o desvio padrão, e Z é a versão padronizada.
Passo 4
Usamos a simetria da normal padrão: a distribuição de Z é simétrica em torno de 0, logo
P(|Z|>1,5)=2\,P(Z>1,5).
Isso significa que a probabilidade de estar abaixo de -1,5 é igual à de estar acima de 1,5; então somamos as duas caudas e obtemos duas vezes a cauda à direita.
Passo 5
Agora usamos a função distribuída da normal padrão \Phi, onde \Phi(z)=P(Z\le z). Assim
P(Z>1,5)=1-\Phi(1,5).
Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), o valor é aproximadamente \Phi(1,5)=0,93319 (tabelas usuais arredondam para 0,9332). Portanto
P(Z>1,5)=1-0,93319=0,06681.
Multiplicando por 2 (pela simetria):
P(|Z|>1,5)=2\cdot 0,06681=0,13362.
Passo 6
Convertendo para porcentagem:
0,13362\times 100\%=13,362\%.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais obtemos 13,36\%. Em palavras: cerca de 13,36\% das peças estão fora da tolerância de \pm 0,3\\ \mathrm{cm}.