Seja X uma variável aleatória normal com média 50 e desvio padrão 10. Calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá uma variável aleatória com distribuição normal e pede uma probabilidade. Informações fornecidas:
- A variável aleatória
tem média . - O desvio padrão é
. - Queremos calcular
.
Passo 2
Entendendo o que significa cada coisa (calminha, vamos por partes):
- A média
é o valor central da distribuição; aqui é . - O desvio padrão
mede a dispersão; aqui é . - A notação «
é normal com média e desvio » escrevemos como , ou seja . - Para calcular probabilidades de uma normal genérica usamos a padronização para a normal padrão (que tem média
e desvio ) porque temos tabelas / calculadora para ela.
Passo 3
Explicando a padronização (a fórmula é fundamental e você deve decorar):
- Definimos a variável padronizada
Aqui
tem distribuição normal padrão, isto é
.
- O motivo: a transformação subtrai a média (centra em zero) e divide pelo desvio (escala para desvio
), permitindo usar a tabela da normal padrão.
Passo 4
Aplicando a padronização para
:
Ou seja,
está
desvios-padrão abaixo da média.
Passo 5
Converter a probabilidade pedida em termos de
:
Agora usamos propriedades da normal padrão. Seja
a função distribuição da normal padrão:
.
- Temos
. - Pela simetria da normal padrão vale
. Então
Portanto
Passo 6
Avaliar
: consultando uma tabela da normal padrão ou usando uma calculadora, obtemos
Arredondando razoavelmente (para quatro casas decimais) fica
.
- Dica prática para prova: muitas tabelas dão
; memorize que corresponde aproximadamente a de área à esquerda.
Passo 7
Interpretação final (para você lembrar na prova): como
está bem abaixo da média
, faz sentido que a probabilidade de
ser maior que
seja alta (cerca de
). Vai tranquilo!