Seja X uma variável aleatória normal com média 50 e desvio padrão 10. Calcule:
\mathrm{P}(\mathrm{X}>35)

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória com distribuição normal e pede uma probabilidade. Informações fornecidas:
  • A variável aleatória X tem média \mu = 50.
  • O desvio padrão é \sigma = 10.
  • Queremos calcular \mathrm{P}(X>35).

Passo 2

Entendendo o que significa cada coisa (calminha, vamos por partes):
  • A média \mu é o valor central da distribuição; aqui é \mu=50.
  • O desvio padrão \sigma mede a dispersão; aqui é \sigma=10.
  • A notação « X é normal com média \mu e desvio \sigma» escrevemos como X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), ou seja X \sim \mathcal{N}(50,10^2).
  • Para calcular probabilidades de uma normal genérica usamos a padronização para a normal padrão (que tem média 0 e desvio 1) porque temos tabelas / calculadora para ela.

Passo 3

Explicando a padronização (a fórmula é fundamental e você deve decorar):
  • Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição normal padrão, isto é Z\sim\mathcal{N}(0,1).
  • O motivo: a transformação subtrai a média (centra em zero) e divide pelo desvio (escala para desvio 1), permitindo usar a tabela da normal padrão.

Passo 4

Aplicando a padronização para x=35:
z=\frac{35-\mu}{\sigma}=\frac{35-50}{10}=\frac{-15}{10}=-1{,}5.
Ou seja, 35 está 1{,}5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 5

Converter a probabilidade pedida em termos de Z:
\mathrm{P}(X>35)=\mathrm{P}\!\left(Z> -1{,}5\right).
Agora usamos propriedades da normal padrão. Seja \Phi(t) a função distribuição da normal padrão: \Phi(t)=\mathrm{P}(Z\le t).
  • Temos \mathrm{P}(Z>-1{,}5)=1-\Phi(-1{,}5).
  • Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Então
1-\Phi(-1{,}5)=1-\big(1-\Phi(1{,}5)\big)=\Phi(1{,}5).
Portanto
\mathrm{P}(X>35)=\Phi(1{,}5).

Passo 6

Avaliar \Phi(1{,}5): consultando uma tabela da normal padrão ou usando uma calculadora, obtemos
\Phi(1{,}5)\approx 0{,}93319\dots
Arredondando razoavelmente (para quatro casas decimais) fica 0{,}9332.
  • Dica prática para prova: muitas tabelas dão \Phi(1{,}5)=0{,}9332; memorize que 1{,}5 corresponde aproximadamente a 93{,}32\% de área à esquerda.

Passo 7

Interpretação final (para você lembrar na prova): como 35 está bem abaixo da média 50, faz sentido que a probabilidade de X ser maior que 35 seja alta (cerca de 93{,}3\%). Vai tranquilo!

Resposta

0{,}9332

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