Seja X uma variável aleatória normal com média 50 e desvio padrão 10. Calcule:
\mathrm{P}(40 \leq \mathrm{X} \leq 70)

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X segue uma distribuição normal com média 50 e desvio padrão 10. A pergunta é calcular a probabilidade
\mathrm{P}(40 \leq X \leq 70).
Informações fornecidas:
\mu=50,\qquad \sigma=10,\qquad \text{queremos } \mathrm{P}(40\le X\le 70).

Passo 2

Vou transformar X numa variável normal padrão para poder usar a tabela/funcão da normal padrão. Definição de padronização: se X tem média \mu e desvio padrão \sigma, então a variável
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
tem distribuição normal padrão, isto é, média 0 e desvio padrão 1. Aqui, Z mede quantos desvios-padrão um valor de X está distante da média.

Passo 3

Calculo os escores z correspondentes aos limites 40 e 70:
z_1=\frac{40-50}{10}=\frac{-10}{10}=-1, \qquad z_2=\frac{70-50}{10}=\frac{20}{10}=2.
Portanto
\mathrm{P}(40\le X\le 70)=\mathrm{P}(-1\le Z\le 2).

Passo 4

Agora uso a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denoto por \Phi(t)=\mathrm{P}(Z\le t). Assim
\mathrm{P}(-1\le Z\le 2)=\Phi(2)-\Phi(-1).
Uma propriedade útil da normal padrão (simetria) é
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para todo }a\ge 0.
Aplicando isso com a=1 obtemos \Phi(-1)=1-\Phi(1).

Passo 5

Substituindo na expressão obtemos
\mathrm{P}(-1\le Z\le 2)=\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)+\Phi(1)-1.
Agora precisamos dos valores de \Phi(1) e \Phi(2), que vêm da tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística.

Passo 6

Valores padrão (tabela):
\Phi(1)=0,8413,\qquad \Phi(2)=0,9772.
Portanto
\mathrm{P}(40\le X\le 70)=0,9772+0,8413-1=0,8185.
(Verificação alternativa: \Phi(-1)=0,1587, então 0,9772-0,1587=0,8185, mesmo resultado.)

Passo 7

Interpretação rápida: a probabilidade de X cair entre 40 e 70 é aproximadamente 81{,}85\%. Bom trabalho — esse tipo de padronização e uso da tabela é uma técnica que aparece muito em provas; treine transformar os limites e ler a tabela que você usa na prova.

Resposta

\,0,8185

Exercícios relacionados