Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m . Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a probabilidade de que na produção de 1000 m ;
aconteçam pelo menos três defeitos.

Passo 1

O enunciado diz que defeitos aparecem ao acaso numa peça, numa média de 1 defeito a cada 250 m, e pede a probabilidade de ocorrerem pelo menos 3 defeitos em 1000 m. O conteúdo é distribuição de Poisson e vamos precisar determinar o parâmetro médio \lambda para 1000 m e usar a fórmula da Poisson.

Passo 2

Para uma variável aleatória X com distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrerem exatamente k defeitos é
P(X = k) \;=\; \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.

Passo 3

Queremos
P(X \ge 3) \;=\; 1 - P(X \le 2) \;=\; 1 - \sum_{k=0}^{2} P(X = k) \;=\; 1 - \sum_{k=0}^{2} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.

Passo 4

A taxa de defeitos é de 1 a cada 250 m, logo em 1000 m o parâmetro médio é \displaystyle \lambda = \frac{1000}{250} = 4.
Assim,
P(X \le 2) = e^{-4}\bigl(1 + 4 + \tfrac{4^2}{2!}\bigr) = e^{-4}\,(1 + 4 + 8) = 13\,e^{-4}\approx 0,2381.
Logo
P(X \ge 3) = 1 - 0,2381 \approx 0,7619.

Resposta

A probabilidade de ocorrerem pelo menos três defeitos em 1000 m é aproximadamente 0,762.

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