Sejam X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, n variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros p .
Seja X=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}. Prove que:
a) E(X)=n \cdot p
b) \operatorname{VAR}(X)=n . p . q

Passo 1

O enunciado considera n variáveis aleatórias independentes X_{1},X_{2},\dots,X_{n}, cada uma com distribuição de Bernoulli de parâmetro p, isto é,
P(X_i=1)=p,\quad P(X_i=0)=1-p=q.
Define-se X = X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}. Para mostrar os resultados, vamos usar (i) a linearidade da esperança e (ii) a propriedade de variância de somas de variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro calculamos a esperança de cada X_i. Por definição de Bernoulli,
E(X_i)=1\cdot P(X_i=1)+0\cdot P(X_i=0)=1\cdot p + 0\cdot q = p.

Passo 3

Agora usamos a linearidade da esperança para somas:
E(X)=E\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_i\bigr)=\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\sum_{i=1}^{n}p = n\,p.

Passo 4

Em seguida, calculamos a variância de cada X_i. Pela definição,
\operatorname{Var}(X_i)=E\bigl(X_i^2\bigr)-\bigl[E(X_i)\bigr]^2.
Como X_i^2=X_i (porque X_i só assume os valores 0 ou 1),
E\bigl(X_i^2\bigr)=E(X_i)=p.
Logo,
\operatorname{Var}(X_i)=p - p^2 = p\,(1-p)=p\,q.

Passo 5

Por fim, como as variáveis X_1,\dots,X_n são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
\operatorname{Var}(X) =\operatorname{Var}\bigl(\sum_{i=1}^{n}X_i\bigr) =\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i) =\sum_{i=1}^{n}p\,q =n\,p\,q.

Resposta

a) E(X)=n\,p
b) \operatorname{VAR}(X)=n\,p\,q

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