Um fabricante afirma que seus cigarros contêm uma média de no máximo 30 mg de nicotina. Uma amostra de 25 cigarros fornece média de
e desvio padrão de 5 mg . Ao nível de
, teste a afirmação do fabricante, considerando que a variável estudada está normalmente distribuída. Qual sua conclusão?
Passo 1
Beleza, vamos entender a parada! O fabricante dos cigarros diz que, em média, cada cigarro tem no máximo 30 mg de nicotina. A gente pegou uma amostra de 25 cigarros e descobriu que a média é de 31,5 mg, com um desvio padrão de 5 mg. Nosso objetivo aqui é testar se essa afirmação do fabricante tá de boa ou se precisamos duvidar dela, usando um nível de confiança de 5%. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente teste de hipótese para média.
Passo 2
Primeiro, vamos montar as hipóteses que a gente vai testar:
- Hipótese nula (H₀): A média de nicotina é no máximo 30 mg. Matemáticamente, $ H_0: \mu \leq 30 $ mg.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de nicotina é maior que 30 mg. Ou seja, $ H_1: \mu > 30 $ mg.
A gente quer ver se há evidência suficiente nos dados para rejeitar a hipótese nula a favor da alternativa.
Passo 3
Agora, vamos escolher o teste certo. Como a variável está normalmente distribuída e a amostra é pequena (n = 25), vamos usar o teste t de Student para uma média. Esse teste é ideal quando a gente não sabe o desvio padrão da população e está trabalhando com amostras pequenas.
Passo 4
Vamos calcular a estatística de teste t. A fórmula é:
Onde:
- $ \bar{x} = 31,5 $ mg (média da amostra)
- $ \mu_0 = 30 $ mg (média hipotética do fabricante)
- $ s = 5 $ mg (desvio padrão da amostra)
- $ n = 25 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Então, nosso valor de t calculado é 1,5.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor crítico de t para o nosso teste. Como estamos testando se a média é maior que 30 mg, é um teste unilateral à direita. Com um nível de significância de 5% (0,05) e $ n - 1 = 24 $ graus de liberdade, vamos procurar o valor crítico $ t_{0,05,24} $.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 6
Vamos comparar o t calculado com o t crítico:
- $ t_{calculado} = 1,5 $
- $ t_{crítico} = 1,711 $
Como $ 1,5 < 1,711 $, não estamos na região de rejeição.
Resposta
Com base nos cálculos, não há evidência suficiente para rejeitar a afirmação do fabricante. Portanto, a média de nicotina nos cigarros não é significativamente maior que 30 mg ao nível de 5%.