Um laboratório afirma que sua droga medicinal é eficiente em mais de
dos casos onde é administrada. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. Teste a afirmação do laboratório ao nível de significância de
. Qual sua conclusão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um teste de eficácia de uma droga medicinal. O laboratório afirma que essa droga é eficiente em mais de 90% dos casos. Para verificar essa afirmação, temos uma amostra de 200 pacientes, dos quais 150 foram curados pela droga. Vamos usar estatística inferencial, mais especificamente um teste de hipótese para proporções, para analisar se a afirmação do laboratório é válida com um nível de significância de 2%.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (
) representa a afirmação que queremos testar, que nesse caso é que a eficácia da droga é de 90%. A hipótese alternativa (
) é o que queremos provar, ou seja, que a eficácia é maior que 90%.
Então:
-
: -
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Nós temos 150 pacientes curados de 200, então a proporção amostral (
) é:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o erro padrão da proporção, que nos ajuda a medir a variação esperada da amostra em relação à hipótese nula. A fórmula para o erro padrão (
) é:
Onde:
-
(proporção segundo ) -
(tamanho da amostra)
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor z, que nos ajuda a determinar quantos desvios padrão nossa proporção amostral está afastada da proporção da hipótese nula. A fórmula para o valor z é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Com o valor z calculado, precisamos encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 2%. Como estamos testando se a proporção é maior que 90%, é um teste unilateral à direita.
O valor crítico para um teste unilateral à direita com
é aproximadamente 2.054 (consultando uma tabela z ou usando uma calculadora estatística).
Passo 7
Agora, comparamos o valor z calculado com o valor crítico:
- Se
, rejeitamos a hipótese nula. - Se
, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso:
Como
não é maior que
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos cálculos, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidências suficientes para confirmar que a droga é eficiente em mais de 90% dos casos ao nível de significância de 2%.