Uma máquina automática que empacota o alimento A é programada para colocar 100 g desse alimento em cada pacote. Para verificar a precisão da máquina, uma amostra aleatória de 20 pacotes do referido alimento fornece peso médio de 98 g e desvio-padrão de 6 g . Teste a hipótese de que a máquina está funcionando adequadamente, ao nível de significância de 1 %. Considere que a população seja normalmente distribuída.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem uma máquina que deveria colocar exatamente 100 gramas de alimento A em cada pacote. Para checar se ela está fazendo isso direitinho, pegamos uma amostra de 20 pacotes e vimos que, em média, cada pacote pesa 98 gramas, com um desvio-padrão de 6 gramas. Nosso objetivo é testar se a máquina está funcionando corretamente usando um nível de significância de 1%. Vamos precisar usar Teste de Hipóteses e entender um pouco de Estatística Inferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A máquina está funcionando corretamente, ou seja, a média do peso dos pacotes é 100 g. Matematicamente, H₀: μ = 100 g.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A máquina não está funcionando corretamente, ou seja, a média do peso dos pacotes é diferente de 100 g. Matematicamente, H₁: μ ≠ 100 g.
Como queremos verificar se a média é diferente, usaremos um teste bicaudal.

Passo 3

Vamos calcular o valor do teste usando a estatística t, já que o desvio-padrão da população não é conhecido e a amostra é pequena (n < 30).
A fórmula do teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral (98 g)
  • mu0 é a média hipotética (100 g)
  • s é o desvio-padrão amostral (6 g)
  • n é o tamanho da amostra (20)
Vamos substituir os valores:
t = 98 - 1006raiz20 = -264.4721 = -21.342 approx -1.492

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de significância de 1% em um teste bicaudal. Consultando a tabela t de Student com df = n - 1 = 19 graus de liberdade, encontramos que o valor crítico para 0,5% de cada lado é aproximadamente ±2.861.

Passo 5

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Se |t| > 2.861, rejeitamos H₀.
  • Se |t| ≤ 2.861, não rejeitamos H₀.
No nosso caso, |-1.492| = 1.492 que é menor que 2.861. Então, não rejeitamos H₀.

Resposta

Com um nível de significância de 1%, não há evidências suficientes para dizer que a máquina não está funcionando adequadamente. Ou seja, a máquina está funcionando corretamente.

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