Um fabricante afirma que a média da resistência à tensão da corda A excede a média da tensão da corda B por, pelo menos, 14 quilogramas. Para testar sua afirmação, 50 pedaços de cada corda são testados sob condições similares. A corda tipo A teve uma resistência de 86,7 quilogramas, com desvio-padrão de 6,28 quilogramas, enquanto a do tipo B teve uma resistência de 77,8 quilogramas, com desvio-padrão 5,61 quilogramas. Teste a afirmação do fabricante usando o nível de significância de 0,05 .

Passo 1

O enunciado pede para testar a afirmação do fabricante de que a média da resistência da corda A excede a média da resistência da corda B por, pelo menos, 14 quilogramas, usando nível de significância \alpha=0,05. Dados fornecidos:
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  • Tamanho das amostras: n_A=50 e n_B=50.
    \n
  • Médias amostrais: \bar{x}_A=86,7 e \bar{x}_B=77,8.
    \n
  • Desvios-padrão amostrais: s_A=6,28 e s_B=5,61.
    \n
    Pergunta a responder: os dados suportam, ao nível de significância 0,05, a afirmação de que \mu_A-\mu_B \ge 14 (onde \mu_A e \mu_B são as médias populacionais)?

Passo 2

Definição das hipóteses (escrevemos explicitamente o que testar):
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H_0:\; \mu_A-\mu_B \ge 14
H_1:\; \mu_A-\mu_B < 14
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Comentário simples: como o fabricante afirma “excede por, pelo menos, 14”, a hipótese nula é que a diferença é maior ou igual a 14 e a alternativa é que a diferença é menor que 14. Trata-se, portanto, de um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Escolha do procedimento de teste e justificativa (explicação didática):
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Temos n_A=n_B=50, ou seja, amostras com tamanho grande ( \ge 30). Mesmo sem conhecermos as variâncias populacionais, pelo Teorema Central do Limite as médias amostrais têm distribuição aproximadamente normal, e podemos usar a aproximação normal (teste-z) para a diferença de médias. Isso evita complicações com graus de liberdade do método de Welch e é apropriado com n grande.
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A estatística de teste para a diferença de médias (quando usamos aproximação normal) é:
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Z=\frac{(\bar{X}_A-\bar{X}_B)-\Delta_0}{\sqrt{\dfrac{s_A^2}{n_A}+\dfrac{s_B^2}{n_B}}}
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Onde:
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  • \bar{X}_A e \bar{X}_B são as médias amostrais ( \bar{x}_A, \bar{x}_B os valores observados).
  • \Delta_0 é a diferença sob a hipótese nula (aqui \Delta_0=14).
  • s_A^2 e s_B^2 são as variâncias amostrais (os quadrados dos desvios-padrão amostrais).
  • n_A e n_B são os tamanhos das amostras.
    \n
    Interpretando: subtraímos da diferença observada ( \bar{x}_A-\bar{x}_B) o valor pretendido sob H_0 e dividimos pelo erro padrão da diferença. O resultado, sob H_0, tem aproximadamente distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 4

Cálculo do erro padrão da diferença (passo a passo numérico):
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Primeiro calculamos as variâncias amostrais:
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s_A^2 = (6,28)^2 = 39,4384
s_B^2 = (5,61)^2 = 31,4721
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Agora calculamos os termos s_A^2/n_A e s_B^2/n_B:
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\frac{s_A^2}{n_A} = \frac{39,4384}{50} = 0,788768
\frac{s_B^2}{n_B} = \frac{31,4721}{50} = 0,629442
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Somando:
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\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B} = 0,788768+0,629442 = 1,41821
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O erro padrão (desvio padrão da diferença) é a raiz quadrada:
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\text{SE} = \sqrt{1,41821} \approx 1,1909

Passo 5

Cálculo da estatística de teste Z (com todos os valores substituídos):
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Diferença amostral observada:
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\bar{x}_A-\bar{x}_B = 86,7 - 77,8 = 8,9
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Substituindo em Z:
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Z=\frac{(\bar{x}_A-\bar{x}_B)-14}{\text{SE}} = \frac{8,9-14}{1,1909} = \frac{-5,1}{1,1909} \approx -4,283

Passo 6

Cálculo do valor-p e comparação com o nível de significância (interpretação numérica):
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Como o teste é unilateral à esquerda, o valor-p é
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p = P(Z_{\text{std}}\le -4,283)
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Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), temos um valor-p muito pequeno:
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p \approx 9{,}2\times 10^{-6}
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Comparando com \alpha=0,05: p \ll 0,05. Alternativamente, o valor crítico para teste unilateral à esquerda com \alpha=0,05 é z_{0,05} \approx -1,645. Como Z\approx -4,283 < -1,645, também rejeitamos H_0.

Passo 7

Conclusão interpretada em linguagem simples e encorajadora:
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Os dados fornecem evidência forte para rejeitar a hipótese de que a média da corda A excede a média da corda B por, pelo menos, 14 kg. Em outras palavras, ao nível de significância 0,05 devemos concluir que a diferença média é menor que 14 kg — isto é, os resultados da amostra não apoiam a afirmação do fabricante.
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Breve interpretação prática: a diferença observada foi 8,9 kg, bem abaixo dos 14 kg alegados, e essa diferença é estatisticamente significante (p muito pequeno), então é razoável duvidar da afirmação do fabricante neste teste.

Resposta

Rejeita-se H_0. Conclusão: os dados não apoiam a afirmação do fabricante; há evidência, ao nível de 0,05, de que \mu_A-\mu_B < 14 (estatística Z\approx -4,283, p\approx 9{,}2\times 10^{-6}).

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