Um fabricante afirma que a média da resistência à tensão da corda
excede a média da tensão da corda
por, pelo menos, 14 quilogramas. Para testar sua afirmação, 50 pedaços de cada corda são testados sob condições similares. A corda tipo
teve uma resistência de 86,7 quilogramas, com desvio-padrão de 6,28 quilogramas, enquanto a do tipo
teve uma resistência de 77,8 quilogramas, com desvio-padrão 5,61 quilogramas. Teste a afirmação do fabricante usando o nível de significância de 0,05 .
Passo 1
O enunciado pede para testar a afirmação do fabricante de que a média da resistência da corda
excede a média da resistência da corda
por, pelo menos,
quilogramas, usando nível de significância
. Dados fornecidos:
\n
\n
- Tamanho das amostras:
e .
\n - Médias amostrais:
e .
\n - Desvios-padrão amostrais:
e .
\n
Pergunta a responder: os dados suportam, ao nível de significância, a afirmação de que (onde e são as médias populacionais)?
Passo 2
Definição das hipóteses (escrevemos explicitamente o que testar):
\n
\n
\n
Comentário simples: como o fabricante afirma “excede por, pelo menos, 14”, a hipótese nula é que a diferença é maior ou igual a e a alternativa é que a diferença é menor que
. Trata-se, portanto, de um teste unilateral à esquerda.
Comentário simples: como o fabricante afirma “excede por, pelo menos, 14”, a hipótese nula é que a diferença é maior ou igual a
Passo 3
Escolha do procedimento de teste e justificativa (explicação didática):
\n
Temos , ou seja, amostras com tamanho grande (
). Mesmo sem conhecermos as variâncias populacionais, pelo Teorema Central do Limite as médias amostrais têm distribuição aproximadamente normal, e podemos usar a aproximação normal (teste-z) para a diferença de médias. Isso evita complicações com graus de liberdade do método de Welch e é apropriado com
grande.
\n
A estatística de teste para a diferença de médias (quando usamos aproximação normal) é:
\n
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Temos
\n
A estatística de teste para a diferença de médias (quando usamos aproximação normal) é:
\n
\n
Onde:
\n
Onde:
\n
-
e são as médias amostrais ( , os valores observados). -
é a diferença sob a hipótese nula (aqui ). -
e são as variâncias amostrais (os quadrados dos desvios-padrão amostrais). -
e são os tamanhos das amostras.
\n
Interpretando: subtraímos da diferença observada () o valor pretendido sob e dividimos pelo erro padrão da diferença. O resultado, sob , tem aproximadamente distribuição normal padrão .
Passo 4
Cálculo do erro padrão da diferença (passo a passo numérico):
\n
Primeiro calculamos as variâncias amostrais:
\n
\n
Primeiro calculamos as variâncias amostrais:
\n
\n
Agora calculamos os termos e
:
\n
Agora calculamos os termos
\n
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Somando:
\n
Somando:
\n
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O erro padrão (desvio padrão da diferença) é a raiz quadrada:
\n
O erro padrão (desvio padrão da diferença) é a raiz quadrada:
\n
Passo 5
Cálculo da estatística de teste
(com todos os valores substituídos):
\n
Diferença amostral observada:
\n
\n
Diferença amostral observada:
\n
\n
Substituindo em :
\n
Substituindo em
\n
Passo 6
Cálculo do valor-p e comparação com o nível de significância (interpretação numérica):
\n
Como o teste é unilateral à esquerda, o valor-p é
\n
\n
Como o teste é unilateral à esquerda, o valor-p é
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Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), temos um valor-p muito pequeno:
\n
Usando a tabela da normal padrão (ou calculadora), temos um valor-p muito pequeno:
\n
\n
Comparando com :
. Alternativamente, o valor crítico para teste unilateral à esquerda com
é
. Como
, também rejeitamos
.
Comparando com
Passo 7
Conclusão interpretada em linguagem simples e encorajadora:
\n
Os dados fornecem evidência forte para rejeitar a hipótese de que a média da corda excede a média da corda
por, pelo menos,
kg. Em outras palavras, ao nível de significância
devemos concluir que a diferença média é menor que
kg — isto é, os resultados da amostra não apoiam a afirmação do fabricante.
\n
Breve interpretação prática: a diferença observada foi kg, bem abaixo dos
kg alegados, e essa diferença é estatisticamente significante (p muito pequeno), então é razoável duvidar da afirmação do fabricante neste teste.
\n
Os dados fornecem evidência forte para rejeitar a hipótese de que a média da corda
\n
Breve interpretação prática: a diferença observada foi
Resposta
Rejeita-se
. Conclusão: os dados não apoiam a afirmação do fabricante; há evidência, ao nível de
, de que
(estatística
,
).