O tempo de permanência de enfermeiros formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado anteriormente obtendo uma média de 3 anos. Atualmente, acredita-se que houve um aumento nessa média e para confirmar essa suposição, uma amostra de 16 enfermeiros que estavam no primeiro emprego foi selecionada fornecendo um tempo médio de 3,7 anos e desvio padrão de 2,3 anos. Utilizando um nível de significância de 1%, qual foi a conclusão obtida por esse estudo?

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se houve aumento na média do tempo de permanência no primeiro emprego. Dados fornecidos:
\;n=16 (tamanho da amostra),
\;\bar{x}=3,7 (média amostral, em anos),
\;s=2,3 (desvio padrão amostral, em anos),
\;\alpha=0,01 (nível de significância).
A pergunta implícita: com esses dados e nível de significância de 0,01, qual a conclusão do estudo sobre o aumento da média?

Passo 2

Formulamos as hipóteses que o enunciado sugere (queremos testar aumento):
H_0:\mu=3
H_1:\mu>3
Explicação curta e prática: H_0 é a hipótese de referência (a média era 3 anos) e H_1 é a hipótese que queremos provar (a média aumentou, por isso é um teste unilateral à direita).

Passo 3

Escolha do método de teste e justificativa: como a variância populacional não foi fornecida e a amostra é pequena ( n=16), usamos o teste t de Student para a média.
Fórmula do estatístico t:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é a média segundo H_0, s é o desvio padrão amostral e n é o tamanho da amostra. Esse estatístico segue, sob H_0, a distribuição t com \;df=n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Cálculo passo a passo do denominador e do estatístico:
s/\sqrt{n}=\frac{2,3}{\sqrt{16}}=\frac{2,3}{4}=0,575
t=\frac{3,7-3}{0,575}=\frac{0,7}{0,575}\approx 1,217
Interpretação numérica: o valor observado do estatístico t é aproximadamente 1,217.

Passo 5

Determinar a região crítica (valor crítico) para o teste unilateral à direita com \alpha=0,01 e df=15.
O valor crítico é o quantil \;t_{1-\alpha,\,15}=t_{0,99,15}. Pela tabela da t de Student temos aproximadamente
t_{0,99,15}\approx 2,602.
Regra de decisão: rejeitar H_0 se t>2,602. Comparando: 1,217<2,602, portanto não rejeitamos H_0.

Passo 6

Cálculo (aproximado) do p-valor para interpretação adicional: o p-valor unilateral é a probabilidade, sob H_0, de obter um t tão grande quanto o observado ou maior:
\text{p-valor} = P(T_{15}\ge 1,217)\approx 0,12
Esse valor (aproximadamente 0,12) é muito maior que \alpha=0,01, confirmando que não há evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 7

Conclusão em linguagem simples e contextualizada (sem jargões): com a amostra disponível ( n=16, média 3,7, desvio 2,3) e adotando um nível de significância de 1\%, o teste não detectou evidência estatística suficiente para afirmar que a média de tempo de permanência no primeiro emprego aumentou em relação a 3 anos. É NORMAL se isso desanima um pouco — significa apenas que, com essa amostra e variabilidade, a diferença observada ( 0,7 ano) não foi forte o bastante para provar aumento ao nível rigoroso de 1\%. Se quisermos mais poder para detectar aumentos pequenos, precisaríamos de amostra maior ou de nível de significância menos conservador.

Resposta

Não rejeitamos H_0 ao nível de significância de 0,01; não há evidência suficiente para concluir que a média aumentou.

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