Sabe-se, por estudos anteriores que o custo de manutenção de oxímetros de pulso segue uma distribuição aproximadamente normal com variância de 400 reais { }^{2}. Durante muito tempo, o custo médio tem sido adotado igual a 200 reais. Porém, suspeita-se que houve aumento nesse custo médio e para verificar se isso de fato ocorreu, uma amostra de 25 desses reparos foi aleatoriamente selecionada e forneceu um custo médio de 207 reais. Utilizando um nível de significância de 5 \%, qual seria sua conclusão?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma conclusão sobre aumento do custo médio:
  • Variância conhecida do custo: \sigma^{2}=400 (reais ^2).
  • Portanto o desvio padrão é \sigma=\sqrt{400}=20 (reais).
  • Valor histórico do custo médio (hipotético): \mu_{0}=200 (reais).
  • Amostra aleatória com tamanho \,n=25.
  • Média amostral observada: \bar{x}=207 (reais).
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
  • Suspeita: houve aumento no custo médio (ou seja, a hipótese alternativa é de aumento).
O que se pede: decidir, ao nível de significância de 5\%, se existe evidência suficiente para concluir que o custo médio aumentou.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (lembre que a suspeita de aumento dita o sentido do teste):
H_{0}:\\ \mu = 200
H_{1}:\\ \mu > 200
Explicação didática rápida: H_{0} é a hipótese “sem mudança” (o custo médio continua 200). H_{1} é a hipótese alternativa que queremos demonstrar: o custo médio é maior que 200. Como a alternativa é “maior”, o teste é unilateral à direita.

Passo 3

Escolha do teste e fórmula da estatística:
  • Temos a variância populacional conhecida ( \sigma^{2}=400), e a amostra é de tamanho \,n=25. Além disso o enunciado diz que a distribuição é aproximadamente normal. Essas condições permitem usar o teste z para média com variância conhecida.
  • A estatística de teste Z é dada por:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}
Aqui \bar{X} é a média amostral observada, \mu_{0} é o valor da média sob H_{0}, \sigma é o desvio padrão populacional e \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra. A interpretação: Z mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada de \mu_{0}.

Passo 4

Cálculo do erro-padrão e da estatística Z:
  • Primeiro o erro-padrão (desvio padrão da média amostral) é
\text{erro-padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}=4.ã
Explanação: dividir o desvio padrão populacional pela raiz do tamanho da amostra reduz a variabilidade da média amostral.
  • Agora a estatística Z:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{207-200}{4}=\frac{7}{4}=1,75.
Mostrei a conta passo a passo: diferença das médias 207-200=7; dividir por 4 1,75.

Passo 5

Regra de decisão usando valor crítico:
  • Para um teste unilateral à direita com nível \alpha=0,05, o valor crítico é o quantil de ordem 1-\alpha=0,95 da normal padrão, que é aproximadamente
z_{0,95}\approx 1,645.
Explicação: esse é o ponto tal que 95\% da distribuição normal padrão fica à esquerda; valores de Z maiores que esse estão na região de rejeição.
  • Comparação:
Z_{\text{obs}}=1,75>1,645.
Portanto a estatística observada cai na região de rejeição: rejeitamos H_{0} ao nível de 5\%.

Passo 6

Cálculo do valor-p (opcional, mas informativo) e interpretação:
  • O valor-p para um teste unilateral à direita é
\text{valor-p}=1-\Phi(Z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Usando \Phi(1,75)\approx 0,9599 (tabela ou calculadora), obtemos
\text{valor-p}\approx 1-0,9599=0,0401.
Interpretação: o valor-p é menor que \alpha=0,05, o que confirma a decisão anterior de rejeitar H_{0}. Em palavras: a probabilidade de observar uma média tão alta quanto 207 quando a média real fosse 200 é cerca de 4,01\%, pequena o suficiente para duvidar de H_{0}.

Passo 7

Conclusão final e interpretação prática (curta e direta):
  • Rejeitamos H_{0} ao nível de significância de 5\%.
  • Conclusão prática: há evidências estatísticas, ao nível de 5\%, de que o custo médio de manutenção de oxímetros de pulso aumentou (ou seja, é maior que 200 reais).
Força — você já tem a decisão e o p-valor; isso dá argumento objetivo para dizer que o custo médio parece ter subido.

Resposta

Rejeita H_{0}. Há evidência ao nível de 5\% de aumento do custo médio. Estatística de teste Z=1,75. Valor-p \approx 0,0401.

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