Sabe-se, por estudos anteriores que o custo de manutenção de oxímetros de pulso segue uma distribuição aproximadamente normal com variância de 400 reais
. Durante muito tempo, o custo médio tem sido adotado igual a 200 reais. Porém, suspeita-se que houve aumento nesse custo médio e para verificar se isso de fato ocorreu, uma amostra de 25 desses reparos foi aleatoriamente selecionada e forneceu um custo médio de 207 reais. Utilizando um nível de significância de
, qual seria sua conclusão?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma conclusão sobre aumento do custo médio:
- Variância conhecida do custo:
(reais ). - Portanto o desvio padrão é
(reais). - Valor histórico do custo médio (hipotético):
(reais). - Amostra aleatória com tamanho
. - Média amostral observada:
(reais). - Nível de significância:
. - Suspeita: houve aumento no custo médio (ou seja, a hipótese alternativa é de aumento).
O que se pede: decidir, ao nível de significância de
, se existe evidência suficiente para concluir que o custo médio aumentou.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (lembre que a suspeita de aumento dita o sentido do teste):
Explicação didática rápida:
é a hipótese “sem mudança” (o custo médio continua
).
é a hipótese alternativa que queremos demonstrar: o custo médio é maior que
. Como a alternativa é “maior”, o teste é unilateral à direita.
Passo 3
Escolha do teste e fórmula da estatística:
- Temos a variância populacional conhecida (
), e a amostra é de tamanho . Além disso o enunciado diz que a distribuição é aproximadamente normal. Essas condições permitem usar o teste para média com variância conhecida. - A estatística de teste
é dada por:
Aqui
é a média amostral observada,
é o valor da média sob
,
é o desvio padrão populacional e
é a raiz do tamanho da amostra. A interpretação:
mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada de
.
Passo 4
Cálculo do erro-padrão e da estatística
:
- Primeiro o erro-padrão (desvio padrão da média amostral) é
Explanação: dividir o desvio padrão populacional pela raiz do tamanho da amostra reduz a variabilidade da média amostral.
- Agora a estatística
:
Mostrei a conta passo a passo: diferença das médias
; dividir por
dá
.
Passo 5
Regra de decisão usando valor crítico:
- Para um teste unilateral à direita com nível
, o valor crítico é o quantil de ordem da normal padrão, que é aproximadamente
Explicação: esse é o ponto tal que
da distribuição normal padrão fica à esquerda; valores de
maiores que esse estão na região de rejeição.
- Comparação:
Portanto a estatística observada cai na região de rejeição: rejeitamos
ao nível de
.
Passo 6
Cálculo do valor-p (opcional, mas informativo) e interpretação:
- O valor-p para um teste unilateral à direita é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
- Usando
(tabela ou calculadora), obtemos
Interpretação: o valor-p é menor que
, o que confirma a decisão anterior de rejeitar
. Em palavras: a probabilidade de observar uma média tão alta quanto
quando a média real fosse
é cerca de
, pequena o suficiente para duvidar de
.
Passo 7
Conclusão final e interpretação prática (curta e direta):
- Rejeitamos
ao nível de significância de . - Conclusão prática: há evidências estatísticas, ao nível de
, de que o custo médio de manutenção de oxímetros de pulso aumentou (ou seja, é maior que reais).
Força — você já tem a decisão e o p-valor; isso dá argumento objetivo para dizer que o custo médio parece ter subido.
Resposta
Rejeita
. Há evidência ao nível de
de aumento do custo médio. Estatística de teste
. Valor-p
.