Um fabricante afirma que a média da resistência à tração da corda A excede a média da resistência à tração da corda B em, pelo menos, 12 kPa . Para testar essa afirmação, 50 pedaços de corda de cada tipo são testados. A média das cordas do tipo A foi de 86,7 kPa, com desvio-padrão de 6,28 kPa. Para o tipo B , os resultados foram média igual a 77,8 kPa e desvio-padrão de 5,61 kPa. Teste a afirmação do fabricante com nível de significância de 5 %. (R: estatística de teste =-2,60 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cordas, A e B, e o fabricante diz que a média da resistência à tração da corda A é pelo menos 12 kPa maior que a da corda B. Para testar essa afirmação, a gente vai precisar usar Estatística, mais especificamente o teste de hipóteses para comparar duas médias. Vamos precisar das médias, desvios-padrão e do tamanho das amostras de cada corda.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A afirmação do fabricante é que a média de A é maior que a média de B em pelo menos 12 kPa. Então:
  • Hipótese Nula (H₀): A diferença das médias é menor ou igual a 12 kPa.
    H₀: muA - muB <= 12
  • Hipótese Alternativa (H₁): A diferença das médias é maior que 12 kPa.
    H₁: muA - muB > 12

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença observada entre as médias das duas amostras:
Diferença das médias = 86,7 - 77,8 = 8,9 kPa çé
Isso já mostra que a diferença observada é menor que os 12 kPa que o fabricante afirma, mas vamos prosseguir com o teste estatístico.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da diferença das médias. A fórmula para o erro padrão (SE) quando temos duas amostras independentes é:
SE = raiz(sigmaA^2nA) + (sigmaB^2nB)
Onde:
  • sigmaA = 6,28 kPa
  • sigmaB = 5,61 kPa
  • nA = nB = 50
Vamos calcular:
SE = raiz(6,28^250) + (5,61^250) = raiz(39,438450) + (31,472150) = raiz0,7888 + 0,6294 = raiz1,4182 approx 1,19 kPa

Passo 5

Com o erro padrão calculado, agora vamos encontrar a estatística de teste (z):
z = (barXA - barXB) - De
Onde:
  • barXA - barXB = 8,9 kPa
  • De (diferença mínima afirmada)
  • SE approx 1,19 kPa
Substituindo:
z = 8,9 - 121,19 = -3,11,19 approx -2,60

Passo 6

Agora, vamos comparar o valor de z com o valor crítico para um nível de significância de 5%. Como é um teste unilateral (queremos saber se A é maior que B), o valor crítico para 5% é aproximadamente 1,645.
Como nosso z calculado é -2,60, que é menor que 1,645, ele está na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com a estatística de teste sendo -2,60, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para suportar a afirmação do fabricante de que a média da resistência à tração da corda A excede a da corda B em, pelo menos, 12 kPa no nível de significância de 5 %.

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