(1,0) O fabricante gostaria de submeter seus resistores para teste de qualidade em um órgão de certificação oficial. Qual o número mínimo de resistores deve ser selecionado para que a estimativa represente a taxa de aprovação dos resistores da fábrica com margem de erro de no máximo 2,5 %, considerando uma confiança de 85 % ?
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para descobrir quantos resistores a gente precisa testar para ter uma boa estimativa da taxa de aprovação da fábrica. Queremos que essa estimativa tenha uma margem de erro de no máximo 2,5% e que a confiança nessa estimativa seja de 85%. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados ao cálculo do tamanho de amostra para estimar proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula básica para calcular o tamanho mínimo da amostra quando queremos estimar uma proporção com uma certa margem de erro e nível de confiança. A fórmula é:
n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da característica que estamos medindo (neste caso, a taxa de aprovação).
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de $ Z $ que corresponde a um nível de confiança de 85%. Esse valor nos diz quantos desvios padrão precisamos para capturar a faixa de confiança desejada na distribuição normal.
Para um nível de confiança de 85%, a área central sob a curva normal é de 0,85. Isso significa que restará 0,15 na cauda da distribuição, ou seja, 0,075 de cada lado.
Consultando uma tabela de valores $ Z $ ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor de $ Z $ para 85% de confiança é aproximadamente 1,44.

Passo 4

Como não sabemos qual é a proporção real de resistores aprovados ($ p $), a gente assume o pior cenário para garantir que nossa amostra seja suficiente. O pior caso acontece quando $ p = 0,5 $, porque esse valor maximiza o produto $ p \cdot (1 - p) $, resultando no maior tamanho de amostra possível necessário.
Então, vamos usar $ p = 0,5 $.

Passo 5

Agora, vamos substituir todos os valores na fórmula para encontrar $ n $:
n
Calculando passo a passo:
  1. $ 1,44^2 = 2,0736 $
  2. $ 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,25 $
  3. $ 2,0736 \cdot 0,25 = 0,5184 $
  4. $ 0,025^2 = 0,000625 $
  5. Finalmente, $ \frac{0,5184}{0,000625} = 830,4 $
Como não podemos testar uma fração de resistor, sempre arredondamos para cima.

Resposta

O número mínimo de resistores que deve ser selecionado é 831 resistores.

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