Estão sendo estudadas as taxas de queima de dois diferentes propelentes sólidos usados no sistema de escapamento de aeronaves. Sabe-se que ambos os propelentes têm aproximadamente o mesmo desvio-padrão de taxa de queima, ou seja,
. Duas amostras aleatórias de
espécimes são testadas. As taxas médias de queima são, respectivamente:
e
.
(a) Teste a hipótese de que ambos os propelentes têm a mesma taxa de queima. Use
. Qual o valor P? (R: estatística de teste
. Valor
)
(b) Construa um intervalo de confiança de
para a diferença de médias
.
(a) Teste a hipótese de que ambos os propelentes têm a mesma taxa de queima. Use
(b) Construa um intervalo de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois tipos diferentes de propelentes sólidos usados no escapamento de aeronaves. Ambos têm desvio-padrão igual de 3 cm/s. Testamos 20 espécimes de cada propelente e obtivemos médias de queima de 18 cm/s para o primeiro e 24 cm/s para o segundo. A gente precisa:
a) Testar se as taxas de queima dos dois propelentes são iguais usando um nível de significância de 5%.
b) Construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias de queima, ou seja,
.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Parte a: Testar a hipótese de que ambos os propelentes têm a mesma taxa de queima.
Primeiro, vamos entender o que significa testar essa hipótese. Queremos ver se não há diferença significativa entre as médias das taxas de queima dos dois propelentes.
Passo 2.1: Formular as hipóteses
- Hipótese nula (
): As médias são iguais, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): As médias são diferentes, ou seja, .
Passo 2.2: Escolher o teste estatístico
Como temos duas amostras independentes com variâncias conhecidas e mesmo tamanho, podemos usar o teste z para a diferença de médias.
A fórmula do teste z é:
Como estamos testando a igualdade das médias,
.
Passo 2.3: Calcular o valor de z
Substituindo os valores dados:
Passo 2.4: Determinar o valor P
O valor de z calculado foi -6,32. Para encontrar o valor P, precisamos olhar na tabela da distribuição normal padrão. Um valor de z tão extremo como -6,32 está muito longe da média (0), o que significa que a probabilidade de obter esse valor ou mais extremo é praticamente zero.
Passo 2.5: Tomar a decisão
Como o valor P é menor que o nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há uma diferença estatisticamente significativa entre as taxas de queima dos dois propelentes.
Passo 3
Parte b: Construir um intervalo de confiança de 95% para a diferença de médias
.
Agora, queremos estimar a diferença real entre as médias das taxas de queima dos dois propelentes com 95% de confiança.
Passo 3.1: Entender o que é um intervalo de confiança
Um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que a verdadeira diferença entre as médias está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%).
Passo 3.2: Usar a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de médias
A fórmula é:
Onde:
-
é a diferença das médias amostrais. -
é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança (aproximadamente 1,96). -
e são os desvios-padrão. -
e são os tamanhos das amostras.
Passo 3.3: Calcular o erro padrão
Já calculamos o denominador na parte do teste z:
Passo 3.4: Calcular o intervalo de confiança
Substituindo os valores:
Isso nos dá:
Passo 3.5: Interpretar o intervalo de confiança
O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias
é de aproximadamente -7,86 a -4,14. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira diferença entre as médias está nessa faixa, indicando que o segundo propelente tem uma taxa de queima significativamente maior que o primeiro.
Resposta
a) A estatística de teste é
e o valor P é 0.
b) O intervalo de confiança de 95% para a diferença das médias
é aproximadamente de -7,86 a -4,14.