Um fabricante alega que apenas 2 % das peças que ele fornece estão abaixo das condições de utilização. Em 200 peças escolhidas aleatoriamente de uma remessa de 5.000 encontraram-se 10 falhas. A alegação do fabricante parece aceitável ao nível de 5% de significância?

Passo 1

Resumindo o enunciado: o fabricante afirma que a proporção de peças defeituosas é p0 = 0,02. De uma amostra de n=200 peças, foram encontradas 10 defeituosas, ou seja, hat p = 10/200 = 0,05. Vamos testar essa alegação usando um teste de hipóteses para proporção, ao nível de significância alpha = 0,05.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H0: p = p0 = 0,02
H1: p > 0,02
É um teste unilateral à direita, pois queremos verificar se a proporção verdadeira é maior do que a alegada.

Passo 3

Para usar a aproximação normal à binomial, checamos n p0 e n(1-p0):
n p0 = 200 times 0,02 = 4, n(1-p0)=200times0,98=196
Embora n p0=4 seja um pouco abaixo do recomendável 5, podemos ainda usar a aproximação normal com correção de continuidade ou recorrer ao teste exato. Aqui faremos a aproximação normal simples, comentando que o resultado será ainda mais conservador se usássemos o exato.

Passo 4

A estatística de teste é
z = hat p - p0raizdfracp0(1-p0)n = 0,05 - 0,02raizdfrac0,02cdot0,98200 approx 0,030,0099 approx 3,03
O valor crítico para alpha=0,05 em um teste à direita é
z0,95approx1,645

Passo 5

Como z=3,03 > 1,645, rejeitamos H0. Alternativamente, o p-valor é
p-valor = P(Z>3,03)approx0,0012 < 0,05,
o que reforça a rejeição de H0. Portanto, há evidência suficiente para dizer que a proporção de peças defeituosas excede 2%.

Resposta

A alegação do fabricante não parece aceitável ao nível de significância de 5%.

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