Um engenheiro desconfia que o percentual de produtos defeituosos reduziu depois da implantação do controle estatístico de processo (CEP). Em uma amostragem de 500 produtos realizada antes da implantação do CEP, identificou-se 5 produtos defeituosos. Após a implantação do CEP, coletou-se uma amostra de 700 produtos e identificou-se um defeituoso. Teste a hipótese do engenheiro usando 2,5 % de significância e enuncie que pressuposto você estaria infringindo para utilizar o teste Z.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para comparar dois percentuais de produtos defeituosos antes e depois da implantação do CEP, ou seja, um teste de diferença de proporções com nível de significância alpha = 2,5%. Vamos precisar formular as hipoteses nula e alternativa, calcular as proporções amostrais, usar a estatística Z baseada na aproximação normal (teste de grandes amostras) e comparar com o valor crítico para concluir.

Passo 2

As hipóteses são
H0: pantes = pdepois
H1: pantes > pdepois
pois o engenheiro suspeita que o percentual de defeituosos diminuiu. É um teste unilateral à direita em pantes - pdepois.

Passo 3

Calculemos as proporções amostrais e a proporção conjunta (para o teste Z):
hat p1 = 5500 = 0,01, hat p2 = 1700 approx 0,0014286,
hat p = 5 + 1500 + 700 = 61200 = 0,005

Passo 4

A variância combinada sob H0 é
Var(hat p1 - hat p2) = hat p,(1 - hat p),l(tfrac1500 + tfrac1700r) = 0,005 times 0,995 times l(0,002 + 0,0014286r) approx 1,7056times10^-5
Logo o desvio-padrão é
SE = raiz1,7056times10^-5approx 0,00413
A estatística de teste é
Z = hat p1 - hat p2SE = 0,01 - 0,00142860,00413 approx 2,07

Passo 5

Para alpha=2,5% em um teste unilateral à direita, o valor crítico é Z1-alpha=Z0,975approx1,96. Como Zcalc=2,07>1,96, rejeitamos H0 e concluímos que há evidência de redução no percentual de defeituosos após o CEP.

Passo 6

O pressuposto violado para usar o teste Z é a aproximação normal da distribuição binomial, que requer n,p0>=5 e n,(1-p0)>=5. Aqui, sob p0=hat p=0,005, temos 500times0,005=2,5<5, de modo que a condição de “grandes amostras” não é satisfeita.

Resposta

Rejeita-se H0; há evidência de que o percentual de defeituosos diminuiu após o CEP. O pressuposto infringido é a condição de grandes amostras para a aproximação normal ( n,p0<5).

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