Um engenheiro desconfia que o percentual de produtos defeituosos reduziu depois da implantação do controle estatístico de processo (CEP). Em uma amostragem de 500 produtos realizada antes da implantação do CEP, identificou-se 5 produtos defeituosos. Após a implantação do CEP, coletou-se uma amostra de 700 produtos e identificou-se um defeituoso. Teste a hipótese do engenheiro usando
de significância e enuncie que pressuposto você estaria infringindo para utilizar o teste
.
Passo 1
O enunciado pede um teste de hipóteses para comparar dois percentuais de produtos defeituosos antes e depois da implantação do CEP, ou seja, um teste de diferença de proporções com nível de significância
. Vamos precisar formular as hipoteses nula e alternativa, calcular as proporções amostrais, usar a estatística
baseada na aproximação normal (teste de grandes amostras) e comparar com o valor crítico para concluir.
Passo 2
As hipóteses são
pois o engenheiro suspeita que o percentual de defeituosos diminuiu. É um teste unilateral à direita em
.
Passo 3
Calculemos as proporções amostrais e a proporção conjunta (para o teste Z):
Passo 4
A variância combinada sob
é
Logo o desvio-padrão é
A estatística de teste é
Passo 5
Para
em um teste unilateral à direita, o valor crítico é
. Como
, rejeitamos
e concluímos que há evidência de redução no percentual de defeituosos após o CEP.
Passo 6
O pressuposto violado para usar o teste
é a aproximação normal da distribuição binomial, que requer
e
. Aqui, sob
, temos
, de modo que a condição de “grandes amostras” não é satisfeita.
Resposta
Rejeita-se
; há evidência de que o percentual de defeituosos diminuiu após o CEP. O pressuposto infringido é a condição de grandes amostras para a aproximação normal (
).