Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 cm^3, onde a base é um retângulo com um comprimento três vezes maior que a largura. Ache as dimensões da caixa fabricada com o mínimo de material. (sugestão: use o teste da 1^a e da 2^ a derivada)

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar as dimensões de uma caixa fechada de base retangular (comprimento três vezes a largura) com volume fixo de 288,cm^3, minimizando a área de material. O conteúdo é otimização de função com restrição (volume) e vamos usar derivadas (teste da 1ª e 2ª derivada).

Passo 2

Vamos chamar a largura de x (em cm), o comprimento de 3x e a altura de h. Como o volume é 288,cm^3, temos a restrição
3x^2h = 288
e daí isolamos h:
h = 2883x^2 = 96x^2

Passo 3

Agora escrevemos a área total S da caixa (base, tampa e laterais). A área é
S = 2(base) + 2(tampa) + 4(lateral) = 2(xcdot3x) + 2(xcdot h) + 2(3xcdot h) = 6x^2 + 2xh + 6xh = 6x^2 + 8xh
Substituindo h = 96/x^2 em S, obtemos a função de uma variável
S(x) = 6x^2 + 8xcdot96x^2 = 6x^2 + 768x

Passo 4

Calculamos a 1ª derivada para achar pontos críticos:
S'(x) = 12x - 768x^2
Igualando a zero para extremar:
12x - 768x^2 = 0 ,Longrightarrow,12x = 768x^2 ,Longrightarrow,x^3 = 64 ,Longrightarrow,x = 4,cm

Passo 5

Aplicamos o teste da 2ª derivada para confirmar mínimo:
S''(x) = 12 + 1536x^3,
e em x=4 vale S''(4) = 12 + 1536/64 = 36 > 0, confirmado que é mínimo.

Passo 6

Por fim, calculamos as outras dimensões: o comprimento é 3x = 12,cm e a altura é
h = 96x^2 = 9616 = 6,cm

Resposta

Largura = 4 cm, Comprimento = 12 cm, Altura = 6 cm

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