Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de
, onde a base é um retângulo com um comprimento três vezes maior que a largura. Ache as dimensões da caixa fabricada com o mínimo de material. (sugestão: use o teste da
e da
derivada)
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar as dimensões de uma caixa fechada de base retangular (comprimento três vezes a largura) com volume fixo de
, minimizando a área de material. O conteúdo é otimização de função com restrição (volume) e vamos usar derivadas (teste da 1ª e 2ª derivada).
Passo 2
Vamos chamar a largura de
(em cm), o comprimento de
e a altura de
. Como o volume é
, temos a restrição
e daí isolamos
:
Passo 3
Agora escrevemos a área total
da caixa (base, tampa e laterais). A área é
Substituindo
em
, obtemos a função de uma variável
Passo 4
Calculamos a 1ª derivada para achar pontos críticos:
Igualando a zero para extremar:
Passo 5
Aplicamos o teste da 2ª derivada para confirmar mínimo:
e em
vale
, confirmado que é mínimo.
Passo 6
Por fim, calculamos as outras dimensões: o comprimento é
e a altura é
Resposta
Largura = 4 cm, Comprimento = 12 cm, Altura = 6 cm