Um tanque contém inicialmente 80 galões de solução de salmoura com
lb de sal por galão. No instante
, começa-se a adicionar ao tanque outra solução de salmoura com 1 lb de sal por galão, a taxa de
, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à taxa de
. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contém exatamente 40 galões de solução.
Passo 1
A questão é um típico problema de salmoura em que temos entrada e saída de fluido e queremos saber a quantidade de sal em um certo instante. Vamos usar ODE do tipo
taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal, resolvendo com fator integrante.
Passo 2
Primeiro achamos o volume
no tanque. Como entram 4 gal/min e saem 8 gal/min, o volume decresce a 4 gal/min:
Passo 3
Agora definimos
= quantidade de sal (em lb) no tanque. A concentração na entrada é 1 lb/gal, então a taxa de entrada de sal é
lb/min. A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração interna, ou seja
. Assim:
Passo 4
Para resolver a ODE linear
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Passo 6
Por fim, em
min (quando há 40 galões) temos
e
Resposta
A quantidade de sal é 22,5 lb.