Um tanque contém inicialmente 80 galões de solução de salmoura com 18 lb de sal por galão. No instante t=0, começa-se a adicionar ao tanque outra solução de salmoura com 1 lb de sal por galão, a taxa de 4 gal / min, enquanto a mistura resultante se escoa do tanque à taxa de 8 gal / min. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contém exatamente 40 galões de solução.

Passo 1

A questão é um típico problema de salmoura em que temos entrada e saída de fluido e queremos saber a quantidade de sal em um certo instante. Vamos usar ODE do tipo dS/dt = taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal, resolvendo com fator integrante.

Passo 2

Primeiro achamos o volume V(t) no tanque. Como entram 4 gal/min e saem 8 gal/min, o volume decresce a 4 gal/min:
V(t)=80-4t Queremos o instante em que V=40, logo
40=80-4t
t=10 min

Passo 3

Agora definimos S(t) = quantidade de sal (em lb) no tanque. A concentração na entrada é 1 lb/gal, então a taxa de entrada de sal é 4cdot1=4 lb/min. A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração interna, ou seja 8cdotS(t)V(t). Assim:
dSdt=4-8S(t)80-4t

Passo 4

Para resolver a ODE linear
dSdt+880-4tS=4, identificamos
p(t)=880-4t=220-t, q(t)=4 O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(integral220-t,dtr)=expl(-2ln(20-t)r)=(20-t)^-2 Multiplicando a ODE por mu(t):
ddtl(S,(20-t)^-2r)=4,(20-t)^-2

Passo 5

Integramos ambos os lados:
S,(20-t)^-2=integral4,(20-t)^-2,dt+C=420-t+C Voltando a S:
S(t)=4(20-t)+C(20-t)^2 No instante t=0 tínhamos inicialmente S(0)=80timestfrac18=10 lb. Logo:
10=4cdot20+Ccdot20^2implies80+400C=10implies C=-tfrac740

Passo 6

Por fim, em t=10 min (quando há 40 galões) temos 20-t=10 e
S(10)=4cdot10-740cdot10^2=40-17,5=22,5 lb

Resposta

A quantidade de sal é 22,5 lb.

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