Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas abertas a partir de folhas de cartão quadrado de 576 cm^2, cortando quadrados iguais nas quatro pontas e dobrando os lados. Calcule a medida do lado do quadrado que deve ser cortado para obter uma caixa cujo volume seja o maior possível.

Passo 1

Estamos com uma folha quadrada de área de 576 cm² (logo lado de 24 cm). Cortamos quadradinhos de lado x em cada canto e dobramos para formar uma caixa aberta. O objetivo é encontrar x que maximiza o volume da caixa. O conteúdo usado é otimização de funções de uma variável por derivadas: vamos obter a expressão do volume V(x), derivá-la e achar o ponto de máximo.

Passo 2

Após o corte e a dobra, a altura da caixa é x e as dimensões da base são (24−2x)×(24−2x). Assim, o volume em função de x é dado por
V(x)=x,(24-2x)^2

Passo 3

O domínio de x é determinado pelas restrições físicas: x>0 e 24−2x>0. Isso implica
0

Passo 4

Para encontrar extremos, calculamos a derivada de V(x). Primeiro expandimos ou usamos regra do produto. Expandindo:
V(x)=576x-96x^2+4x^3
Logo a derivada é
V'(x)=576-192x+12x^2

Passo 5

Encontramos os pontos críticos resolvendo V’(x)=0:
12x^2-192x+576=0
Dividindo por 12:
x^2-16x+48=0
A solução é
x=16pmraiz256-1922=16pm82implies x=12 ou x=4

Passo 6

Para saber qual gera o máximo, usamos a segunda derivada ou comparamos valores. A segunda derivada é
V''(x)=24x-192
Em x=4 temos V’’(4)=24·4−192=−96<0, indicando máximo local. Além disso, em x=12 o volume é zero. Portanto o máximo ocorre em x=4 cm.

Resposta

4 cm

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