Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas abertas a partir de folhas de cartão quadrado de
, cortando quadrados iguais nas quatro pontas e dobrando os lados. Calcule a medida do lado do quadrado que deve ser cortado para obter uma caixa cujo volume seja o maior possível.
Passo 1
Estamos com uma folha quadrada de área de 576 cm² (logo lado de 24 cm). Cortamos quadradinhos de lado x em cada canto e dobramos para formar uma caixa aberta. O objetivo é encontrar x que maximiza o volume da caixa. O conteúdo usado é otimização de funções de uma variável por derivadas: vamos obter a expressão do volume V(x), derivá-la e achar o ponto de máximo.
Passo 2
Após o corte e a dobra, a altura da caixa é x e as dimensões da base são (24−2x)×(24−2x). Assim, o volume em função de x é dado por
Passo 3
O domínio de x é determinado pelas restrições físicas: x>0 e 24−2x>0. Isso implica
Passo 4
Para encontrar extremos, calculamos a derivada de V(x). Primeiro expandimos ou usamos regra do produto. Expandindo:
Logo a derivada é
Passo 5
Encontramos os pontos críticos resolvendo V’(x)=0:
Dividindo por 12:
A solução é
Passo 6
Para saber qual gera o máximo, usamos a segunda derivada ou comparamos valores. A segunda derivada é
Em x=4 temos V’’(4)=24·4−192=−96<0, indicando máximo local. Além disso, em x=12 o volume é zero. Portanto o máximo ocorre em x=4 cm.
Resposta
4 cm