3- Dada a função
, mostre que
onde
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o rotacional de F é igual a zero, onde F é o gradiente de uma função escalar
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente gradiente e rotacional (ou rot).
O que vamos precisar: Saber calcular o gradiente de uma função escalar e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente, representado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis.
A fórmula do gradiente é:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de F, onde F =
. O rotacional de um campo vetorial F =
é dado por:
Passo 5
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
Portanto:
- Segunda componente:
Portanto:
- Terceira componente:
Portanto:
Resposta
Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que: