3- Dada a função phi(x, y, z)=x y^2 z^3+2 x z+y^2, mostre que rot F=0 onde F=nabla phi.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o rotacional de F é igual a zero, onde F é o gradiente de uma função escalar phi(x, y, z) = x y^2 z^3 + 2 x z + y^2.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente gradiente e rotacional (ou rot).
O que vamos precisar: Saber calcular o gradiente de uma função escalar e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função phi. O gradiente, representado por nabla phi, é um vetor que contém as derivadas parciais de phi em relação a cada uma das variáveis.
A fórmula do gradiente é:
nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z )

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a x:
partial phipartial x = y^2 z^3 + 2 z
  1. Derivada parcial em relação a y:
partial phipartial y = 2 x y z^3 + 2 y
  1. Derivada parcial em relação a z:
partial phipartial z = 3 x y^2 z^2 + 2 x
Portanto, o gradiente nabla phi é:
nabla phi = ( y^2 z^3 + 2 z, 2 x y z^3 + 2 y, 3 x y^2 z^2 + 2 x )

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de F, onde F = nabla phi. O rotacional de um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz) é dado por:
rot F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )

Passo 5

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y = partialpartial y ( 3 x y^2 z^2 + 2 x ) = 6 x y z^2
partial Fypartial z = partialpartial z ( 2 x y z^3 + 2 y ) = 6 x y z^2
Portanto:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 6 x y z^2 - 6 x y z^2 = 0
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z = partialpartial z ( y^2 z^3 + 2 z ) = 3 y^2 z^2 + 2
partial Fzpartial x = partialpartial x ( 3 x y^2 z^2 + 2 x ) = 3 y^2 z^2 + 2
Portanto:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = (3 y^2 z^2 + 2) - (3 y^2 z^2 + 2) = 0
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x = partialpartial x ( 2 x y z^3 + 2 y ) = 2 y z^3
partial Fxpartial y = partialpartial y ( y^2 z^3 + 2 z ) = 2 y z^3
Portanto:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 2 y z^3 - 2 y z^3 = 0

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são iguais a zero, concluímos que:
rot F = 0

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