No dia 07 de julho, um porco está pesando 200 libras e, a partir desse dia, ganha 5 libras por dia e custa 45 centavos por dia para manter. O preço de mercado para suínos é de 65 centavos por libra, mas está caindo 1 por centavo por dia. Quando o porco deve ser vendido a fim de obter o maior lucro?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos um porco que está pesando 200 libras no dia 07 de julho. A partir desse dia, ele ganha 5 libras por dia e custa 45 centavos por dia para manter. O preço de mercado dele é de 65 centavos por libra, mas esse preço está caindo 1 centavo por dia. Nosso objetivo é descobrir em qual dia devemos vender o porco para maximizar o lucro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e cálculo para otimizar o lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis. Vamos chamar de $ x $ o número de dias após 07 de julho. Assim:
  • Peso do porco após $ x $ dias:
    x
    Isso porque ele ganha 5 libras por dia.
  • Preço por libra após $ x $ dias:
    x
    O preço começa em 65 centavos e cai 1 centavo por dia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a receita que teremos se vendermos o porco no dia $ x $:
x
Também temos os custos de manutenção, que são 45 centavos por dia:
R(x) = P(x) times C(x) = (200 + 5x)(0,65 - 0,01x) çã
Então, o lucro será a receita menos os custos:
Cmanutenção(x) = 0,45x çã

Passo 4

Vamos expandir a expressão do lucro:
L(x) = (200 + 5x)(0,65 - 0,01x) - 0,45x
L(x) = 200 times 0,65 + 200 times (-0,01x) + 5x times 0,65 + 5x times (-0,01x) - 0,45x
L(x) = 130 - 2x + 3,25x - 0,05x^2 - 0,45x
L(x) = 130 + (3,25x - 2x - 0,45x) - 0,05x^2
L(x) = 130 + 0,8x - 0,05x^2

Passo 5

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro, precisamos encontrar o vértice dessa função quadrática. A fórmula para o vértice é:
x
Onde $ a = -0,05 $ e $ b = 0,8 $.
Calculando:
x = -b2a

Resposta

O porco deve ser vendido 8 dias após 07 de julho para obter o maior lucro.

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