Q3) Um fabricante de cảmeras de segurança deseja adquirir refletores com leds infravermelhos. Para verificar a qualidade destes componentes, foi testada uma amostra com 11 refletores e obteve-se o seguinte resultado quanto a durabilidade:
Refletor
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Duração
23,5
25,5
18,3
23,4
22,9
24,8
23,7
23,2
24,3
23,9
25,1
(a) Determine os quartis das observaçōes e verifique se há alguma observação discrepante (justifique).
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Assumindo que a duraçāo tem distribuiçāo normal com média desconhecida e desvio padrāo (populacional) 1000 h , encontre o tamanho mínimo da amostra para que a distância verdadeira seja estimada com um erro máximo de 500 horas, com
de probabilidade.
| Refletor | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Duração
|
23,5 | 25,5 | 18,3 | 23,4 | 22,9 | 24,8 | 23,7 | 23,2 | 24,3 | 23,9 | 25,1 |
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Assumindo que a duraçāo tem distribuiçāo normal com média desconhecida e desvio padrāo (populacional) 1000 h , encontre o tamanho mínimo da amostra para que a distância verdadeira seja estimada com um erro máximo de 500 horas, com
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá uma amostra de
durações (em milhares de horas). Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
Dados (retirados da tabela do enunciado; unidades:
horas):
Perguntas:
(a) Determine os quartis das observações e verifique se há alguma observação discrepante (justifique).
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Supondo distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido horas, encontre o tamanho mínimo da amostra para erro máximo
horas com
de confiança.
(a) Determine os quartis das observações e verifique se há alguma observação discrepante (justifique).
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Supondo distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido
Passo 2
Organizar os dados e calcular a mediana (para depois obter os quartis). Primeiro ordeno os valores em ordem crescente (aqui uso os números tal como estão na tabela, em milhares de horas):
Há
observações (ímpar). Para
ímpar a mediana é a observação de posição
.
Calculemos:
Calculemos:
ou seja, a mediana é o
valor da lista ordenada. Portanto a mediana (quartil
) é
Passo 3
Como obter
e
para
ímpar (método simples e usual):
-
é a mediana da metade inferior dos dados, excluindo a mediana global. No nosso caso a metade inferior é composta pelas 5 primeiras observações:
A mediana dessa metade (posição 3 dentro dela) é
. Logo
-
é a mediana da metade superior, excluindo a mediana global. A metade superior é:
A mediana dessa metade (posição 3 dentro dela) é
. Logo
Resumo até aqui (valores em milhares de horas):
Passo 4
Calcular o IQR e usar o critério de Tukey para detectar observações discrepantes (outliers). Explico o critério: IQR (intervalo interquartílico) mede a dispersão entre
e
:
Observações consideradas “outliers” típicos são as que ficam abaixo de
ou acima de
. Vamos calcular.
Calculemos a IQR:
Agora as cercas (fences):
Interpretação: qualquer observação menor que
(milhares de horas) ou maior que
(milhares de horas) é flagrada como observação discrepante pelo critério de Tukey.
Compare com os dados ordenados:
Vemos que
, logo
(milhares de horas) é uma observação discrepante (outlier). Nenhuma observação excede
, portanto não há outliers altos.
Também é útil traduzir em horas:
(milhares) =
horas, e a lower fence é
horas. Portanto
, confirmando o outlier.
Passo 5
Montagem do boxplot (descrição completa para que você consiga desenhar na prova). Um boxplot é construído assim:
- Caixa (box) entre
e . - Linha interna na caixa em
(mediana). - “Whiskers” (bigodes) vão até os valores não discrepantes mais extremos: o menor valor maior ou igual à lower fence e o maior valor menor ou igual à upper fence.
- Marcar os outliers individualmente (pontos).
Aplicando aos nossos números (valores em milhares de horas):
- Caixa entre
e . - Mediana
(marcada dentro da caixa). - Menor valor não discrepante (menor que a lower fence é outlier, então excluímos o outlier): o menor valor >= lower fence é
. Assim whisker inferior vai até . - Maior valor não discrepante é
. Assim whisker superior vai até . - Observação discrepante (marcada como ponto isolado):
.
Se preferir em horas (multiplicando por
):
- Caixa entre
h e h; mediana em h; whiskers até h e h; outlier em h.
Passo 6
Parte (c): determinar
para estimar a média com erro máximo
horas e confiança
, sabendo
horas (populacional conhecido).
Explicação didática do raciocínio: quando
é conhecido, o intervalo de confiança para a média é
onde
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a
. Para
de confiança,
e
. O erro máximo permitido (meia largura do intervalo) é
Queremos achar
tal que isso seja
. Isolando
:
Substituindo os valores (tudo em horas):
Logo
Como
deve ser um número inteiro e devemos garantir que o erro seja no máximo
, tomamos o teto (arredondar para cima):
Passo 7
Recapitulando as decisões e resultados (já detalhados acima): quartis calculados com método de mediana das metades, critério de Tukey para outliers, boxplot descrito com whiskers até os valores não discrepantes, e fórmula padrão para tamanho de amostra quando
é conhecido.
Resposta
(a)
(milhares de horas),
(milhares de horas),
(milhares de horas). Há uma observação discrepante:
(milhares de horas), pois
.
(b) Boxplot: box entre e
; mediana em
; whiskers de
até
; outlier pontual em
. (Unidades:
horas.)
(c) .
(b) Boxplot: box entre
(c)