Q3) Um fabricante de cảmeras de segurança deseja adquirir refletores com leds infravermelhos. Para verificar a qualidade destes componentes, foi testada uma amostra com 11 refletores e obteve-se o seguinte resultado quanto a durabilidade:
Refletor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Duração (x 1000 \mathrm{~h}) 23,5 25,5 18,3 23,4 22,9 24,8 23,7 23,2 24,3 23,9 25,1
(a) Determine os quartis das observaçōes e verifique se há alguma observação discrepante (justifique).
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Assumindo que a duraçāo tem distribuiçāo normal com média desconhecida e desvio padrāo (populacional) 1000 h , encontre o tamanho mínimo da amostra para que a distância verdadeira seja estimada com um erro máximo de 500 horas, com 95 \% de probabilidade.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá uma amostra de 11 durações (em milhares de horas). Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
Dados (retirados da tabela do enunciado; unidades: \times 1000 horas):
\text{Amostra}=\{23,5;\;25,5;\;18,3;\;23,4;\;22,9;\;24,8;\;23,7;\;23,2;\;24,3;\;23,9;\;25,1\}
Perguntas:
(a) Determine os quartis das observações e verifique se há alguma observação discrepante (justifique).
(b) Monte um boxplot para os dados da amostra.
(c) Supondo distribuição normal com desvio-padrão populacional conhecido \sigma=1000 horas, encontre o tamanho mínimo da amostra para erro máximo E=500 horas com 95\% de confiança.

Passo 2

Organizar os dados e calcular a mediana (para depois obter os quartis). Primeiro ordeno os valores em ordem crescente (aqui uso os números tal como estão na tabela, em milhares de horas):
18,3;\;22,9;\;23,2;\;23,4;\;23,5;\;23,7;\;23,9;\;24,3;\;24,8;\;25,1;\;25,5
n=11 observações (ímpar). Para n ímpar a mediana é a observação de posição (n+1)/2.
Calculemos:
\frac{n+1}{2}=\frac{11+1}{2}=6,
ou seja, a mediana é o 6^\text{o} valor da lista ordenada. Portanto a mediana (quartil Q_2) é
Q_2= \text{o 6ª observação} = 23,7 \quad(\text{em milhares de horas}).ªçã

Passo 3

Como obter Q_1 e Q_3 para n ímpar (método simples e usual):
  • Q_1 é a mediana da metade inferior dos dados, excluindo a mediana global. No nosso caso a metade inferior é composta pelas 5 primeiras observações:
18,3;\;22,9;\;23,2;\;23,4;\;23,5.
A mediana dessa metade (posição 3 dentro dela) é 23,2. Logo
Q_1 = 23,2 \quad(\text{milhares de horas}).
  • Q_3 é a mediana da metade superior, excluindo a mediana global. A metade superior é:
23,9;\;24,3;\;24,8;\;25,1;\;25,5.
A mediana dessa metade (posição 3 dentro dela) é 24,8. Logo
Q_3 = 24,8 \quad(\text{milhares de horas}).
Resumo até aqui (valores em milhares de horas):
Q_1=23,2,\quad Q_2=23,7,\quad Q_3=24,8.

Passo 4

Calcular o IQR e usar o critério de Tukey para detectar observações discrepantes (outliers). Explico o critério: IQR (intervalo interquartílico) mede a dispersão entre Q_1 e Q_3:
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1.
Observações consideradas “outliers” típicos são as que ficam abaixo de Q_1-1,5\cdot\mathrm{IQR} ou acima de Q_3+1,5\cdot\mathrm{IQR}. Vamos calcular.
Calculemos a IQR:
\mathrm{IQR}=24,8-23,2=1,6 \quad(\text{milhares de horas}).
Agora as cercas (fences):
\text{lower fence}=Q_1-1,5\cdot\mathrm{IQR}=23,2-1,5\cdot1,6=23,2-2,4=20,8,
\text{upper fence}=Q_3+1,5\cdot\mathrm{IQR}=24,8+1,5\cdot1,6=24,8+2,4=27,2.
Interpretação: qualquer observação menor que 20,8 (milhares de horas) ou maior que 27,2 (milhares de horas) é flagrada como observação discrepante pelo critério de Tukey.
Compare com os dados ordenados:
18,3;\;22,9;\;23,2;\;23,4;\;23,5;\;23,7;\;23,9;\;24,3;\;24,8;\;25,1;\;25,5.
Vemos que 18,3<20,8, logo 18,3 (milhares de horas) é uma observação discrepante (outlier). Nenhuma observação excede 27,2, portanto não há outliers altos.
Também é útil traduzir em horas: 18,3 (milhares) = 18{,}3\times 1000 = 18300 horas, e a lower fence é 20{,}8\times 1000=20800 horas. Portanto 18300<20800, confirmando o outlier.

Passo 5

Montagem do boxplot (descrição completa para que você consiga desenhar na prova). Um boxplot é construído assim:
  • Caixa (box) entre Q_1 e Q_3.
  • Linha interna na caixa em Q_2 (mediana).
  • “Whiskers” (bigodes) vão até os valores não discrepantes mais extremos: o menor valor maior ou igual à lower fence e o maior valor menor ou igual à upper fence.
  • Marcar os outliers individualmente (pontos).
Aplicando aos nossos números (valores em milhares de horas):
  • Caixa entre Q_1=23,2 e Q_3=24,8.
  • Mediana Q_2=23,7 (marcada dentro da caixa).
  • Menor valor não discrepante (menor que a lower fence é outlier, então excluímos o outlier): o menor valor >= lower fence é 22,9. Assim whisker inferior vai até 22,9.
  • Maior valor não discrepante é 25,5. Assim whisker superior vai até 25,5.
  • Observação discrepante (marcada como ponto isolado): 18,3.
Se preferir em horas (multiplicando por 1000):
  • Caixa entre 23200 h e 24800 h; mediana em 23700 h; whiskers até 22900 h e 25500 h; outlier em 18300 h.

Passo 6

Parte (c): determinar n_{\min} para estimar a média com erro máximo E=500 horas e confiança 95\%, sabendo \sigma=1000 horas (populacional conhecido).
Explicação didática do raciocínio: quando \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média é
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96. O erro máximo permitido (meia largura do intervalo) é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Queremos achar n tal que isso seja \le E. Isolando n:
n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Substituindo os valores (tudo em horas):
z_{0,025}=1,96,\quad \sigma=1000,\quad E=500.
Logo
n=\left(\frac{1,96\cdot 1000}{500}\right)^2=\left(1,96\cdot 2\right)^2=\left(3,92\right)^2=15,3664.
Como n deve ser um número inteiro e devemos garantir que o erro seja no máximo E, tomamos o teto (arredondar para cima):
n_{\min}=16.

Passo 7

Recapitulando as decisões e resultados (já detalhados acima): quartis calculados com método de mediana das metades, critério de Tukey para outliers, boxplot descrito com whiskers até os valores não discrepantes, e fórmula padrão para tamanho de amostra quando \sigma é conhecido.

Resposta

(a) Q_1=23,2 (milhares de horas), Q_2=23,7 (milhares de horas), Q_3=24,8 (milhares de horas). Há uma observação discrepante: 18,3 (milhares de horas), pois 18,3<Q_1-1,5\cdot\mathrm{IQR}=20,8.
(b) Boxplot: box entre 23,2 e 24,8; mediana em 23,7; whiskers de 22,9 até 25,5; outlier pontual em 18,3. (Unidades: \times1000 horas.)
(c) n_{\min}=16.

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