( 2,0 pts) Realize o teste de hipótese para duas amostras (juniores x sêniores) da tabela abaixo. Será que a produtividade dos operadores juniores é a mesma dos sêniores? Justifique por meio deste teste de hipótese. Utilize \alpha=5 \% e considere que as variâncias populacionais são iguais.
(QUESTÃO EXTRA)
Obs X (anos de experiência) Y (unidades/h) Grupo
1 1 46 Junior
2 2 50 Junior
3 3 49 Junior
4 4 54 Junior
5 5 56 Junior
6 6 57 Junior
7 7 60 Junior
8 8 62 Junior
9 9 63 Junior
10 10 66 Junior
11 11 68 Sênior
12 12 69 Sênior
13 13 72 Sênior
14 14 73 Sênior
15 15 76 Sênior
16 16 77 Sênior
17 17 81 Sênior
18 18 80 Sênior
19 19 84 Sênior
20 20 86 Sênior

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a produtividade dos operadores juniores é a mesma dos sêniores usando um teste de hipótese para duas amostras com variâncias populacionais assumidas iguais e nível de significância \alpha=5\%. Eu usei os valores de produtividade Y presentes na tabela do enunciado (estou explicitando que peguei esses dados da tabela). Os dados de produtividade são:
\text{Juniores (grupo 1): } Y = [46,\;50,\;49,\;54,\;56,\;57,\;60,\;62,\;63,\;66]
\text{Sêniores (grupo 2): } Y = [68,\;69,\;72,\;73,\;76,\;77,\;81,\;80,\;84,\;86]ê
As perguntas são: formular as hipóteses e decidir, com \alpha=0,05, se podemos considerar as médias de produtividade iguais entre os dois grupos, justificando pelo teste.

Passo 2

Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicação didática):
  • Como temos duas amostras independentes e o enunciado diz para considerar variâncias populacionais iguais, usamos o teste t de Student com variância “pooled” (comum).
  • Hipóteses:
H_0:\\ \mu_1 = \mu_2
H_1:\\ \mu_1 \neq \mu_2
onde \mu_1 é a média de produtividade dos juniores e \mu_2 a dos sêniores. É um teste bilateral porque queremos saber se são iguais ou diferentes (sem direção definida).
Breve aula: o teste pooled usa a estimativa combinada da variância quando acreditamos que as variâncias populacionais são iguais. O estatístico é
t=\frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}},
com
s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},
e graus de liberdade df=n_1+n_2-2. Rejeitamos H_0 se |t|>t_{1-\alpha/2,\,df}.

Passo 3

Calcular tamanhos amostrais e médias (passo a passo):
  • Tamanhos: n_1=10 (juniores) e n_2=10 (sêniores).
  • Soma e média dos juniores (peguei os Y da tabela):
\sum_{i=1}^{10} y_{1i}=563 \quad\Rightarrow\quad \bar{Y}_1=\frac{563}{10}=56,3.
  • Soma e média dos sêniores:
\sum_{i=1}^{10} y_{2i}=766 \quad\Rightarrow\quad \bar{Y}_2=\frac{766}{10}=76,6.
Interpretação: a média amostral dos sêniores é maior ( 76,6) que a dos juniores ( 56,3); agora vamos ver se essa diferença é estatisticamente significativa.

Passo 4

Calcular as variâncias amostrais (explicando como):
  • Primeiro calculamos a soma dos quadrados dos desvios em cada grupo; fiz isso usando \bar{Y}_1 e \bar{Y}_2 obtidas no passo anterior (valores tirados da tabela).
Para os juniores:
\sum_{i=1}^{10}(y_{1i}-\bar{Y}_1)^2 = 390,10.
Logo a variância amostral do grupo 1 é
s_1^2=\frac{390,10}{n_1-1}=\frac{390,10}{9}=43,344\ldots
e o desvio padrão amostral
s_1\approx\sqrt{43,344\ldots}=6,581.
Para os sêniores:
\sum_{i=1}^{10}(y_{2i}-\bar{Y}_2)^2 = 340,40.
Logo
s_2^2=\frac{340,40}{9}=37,822\ldots
e
s_2\approx\sqrt{37,822\ldots}=6,151.
Breve explicação: para calcular s^2 somamos os quadrados dos desvios de cada observação em relação à média amostral e dividimos por n-1 (isso corrige o viés e é a definição da variância amostral).

Passo 5

Calcular a variância pooled e o erro padrão combinado:
  • Fórmula da variância pooled (expliquei antes):
s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.
Substituindo:
s_p^2=\frac{9\cdot 43,344\ldots + 9\cdot 37,822\ldots}{18}=\frac{390,10+340,40}{18}=\frac{730,50}{18}=40,5833\ldots
s_p\approx\sqrt{40,5833\ldots}=6,370.
  • Erro padrão da diferença de médias:
\text{SE} = s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}} = 6,370\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}} = 6,370\sqrt{0,2}=6,370\cdot 0,4472136\approx 2,8472.

Passo 6

Calcular o estatístico t e os graus de liberdade, e obter a regra de decisão:
  • Estatístico:
t=\frac{\bar{Y}_1-\bar{Y}_2}{\text{SE}}=\frac{56,3-76,6}{2,8472}=\frac{-20,3}{2,8472}\approx -7,13.
  • Graus de liberdade:
df=n_1+n_2-2=10+10-2=18.
  • Valor crítico para o teste bilateral com \alpha=0,05:
t_{1-\alpha/2,\,18}=t_{0,975,\,18}\approx 2,101.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2,101.

Passo 7

Conclusão do teste (interpretação dos resultados):
  • Calculamos |t|\approx 7,13 que é muito maior que 2,101. Portanto rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
  • O p-valor é extremamente pequeno (próximo de zero); aproximando, p<0,0001. Isso confirma a decisão de rejeição.
Interpretação prática: há evidência estatística forte de que as médias de produtividade dos dois grupos são diferentes. Observou-se que a média dos sêniores ( 76,6) é significativamente maior que a dos juniores ( 56,3), diferença amostral de 20,3 unidades/h.

Resposta

Rejeita-se H_0. As produtividades não são iguais; média dos juniores \bar{Y}_1=56,3, média dos sêniores \bar{Y}_2=76,6; t\approx -7,13, df=18, p<0,0001.

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