( 2,0 pts) Realize o teste de hipótese para duas amostras (juniores
sêniores) da tabela abaixo. Será que a produtividade dos operadores juniores é a mesma dos sêniores? Justifique por meio deste teste de hipótese. Utilize
e considere que as variâncias populacionais são iguais.
(QUESTÃO EXTRA)
Obs
X (anos de experiência)
Y (unidades/h)
Grupo
1
1
46
Junior
2
2
50
Junior
3
3
49
Junior
4
4
54
Junior
5
5
56
Junior
6
6
57
Junior
7
7
60
Junior
8
8
62
Junior
9
9
63
Junior
10
10
66
Junior
11
11
68
Sênior
12
12
69
Sênior
13
13
72
Sênior
14
14
73
Sênior
15
15
76
Sênior
16
16
77
Sênior
17
17
81
Sênior
18
18
80
Sênior
19
19
84
Sênior
20
20
86
Sênior
(QUESTÃO EXTRA)
| Obs | X (anos de experiência) | Y (unidades/h) | Grupo |
| 1 | 1 | 46 | Junior |
| 2 | 2 | 50 | Junior |
| 3 | 3 | 49 | Junior |
| 4 | 4 | 54 | Junior |
| 5 | 5 | 56 | Junior |
| 6 | 6 | 57 | Junior |
| 7 | 7 | 60 | Junior |
| 8 | 8 | 62 | Junior |
| 9 | 9 | 63 | Junior |
| 10 | 10 | 66 | Junior |
| 11 | 11 | 68 | Sênior |
| 12 | 12 | 69 | Sênior |
| 13 | 13 | 72 | Sênior |
| 14 | 14 | 73 | Sênior |
| 15 | 15 | 76 | Sênior |
| 16 | 16 | 77 | Sênior |
| 17 | 17 | 81 | Sênior |
| 18 | 18 | 80 | Sênior |
| 19 | 19 | 84 | Sênior |
| 20 | 20 | 86 | Sênior |
Passo 1
O enunciado pede: verificar se a produtividade dos operadores juniores é a mesma dos sêniores usando um teste de hipótese para duas amostras com variâncias populacionais assumidas iguais e nível de significância
. Eu usei os valores de produtividade
presentes na tabela do enunciado (estou explicitando que peguei esses dados da tabela). Os dados de produtividade são:
As perguntas são: formular as hipóteses e decidir, com
, se podemos considerar as médias de produtividade iguais entre os dois grupos, justificando pelo teste.
Passo 2
Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicação didática):
- Como temos duas amostras independentes e o enunciado diz para considerar variâncias populacionais iguais, usamos o teste
de Student com variância “pooled” (comum). - Hipóteses:
onde
é a média de produtividade dos juniores e
a dos sêniores. É um teste bilateral porque queremos saber se são iguais ou diferentes (sem direção definida).
Breve aula: o teste pooled usa a estimativa combinada da variância quando acreditamos que as variâncias populacionais são iguais. O estatístico é
com
e graus de liberdade
. Rejeitamos
se
.
Passo 3
Calcular tamanhos amostrais e médias (passo a passo):
- Tamanhos:
(juniores) e (sêniores). - Soma e média dos juniores (peguei os
da tabela):
- Soma e média dos sêniores:
Interpretação: a média amostral dos sêniores é maior (
) que a dos juniores (
); agora vamos ver se essa diferença é estatisticamente significativa.
Passo 4
Calcular as variâncias amostrais (explicando como):
- Primeiro calculamos a soma dos quadrados dos desvios em cada grupo; fiz isso usando
e obtidas no passo anterior (valores tirados da tabela).
Para os juniores:
Logo a variância amostral do grupo 1 é
e o desvio padrão amostral
Para os sêniores:
Logo
e
Breve explicação: para calcular
somamos os quadrados dos desvios de cada observação em relação à média amostral e dividimos por
(isso corrige o viés e é a definição da variância amostral).
Passo 5
Calcular a variância pooled e o erro padrão combinado:
- Fórmula da variância pooled (expliquei antes):
Substituindo:
- Erro padrão da diferença de médias:
Passo 6
Calcular o estatístico
e os graus de liberdade, e obter a regra de decisão:
- Estatístico:
- Graus de liberdade:
- Valor crítico para o teste bilateral com
:
Regra: rejeitar
se
.
Passo 7
Conclusão do teste (interpretação dos resultados):
- Calculamos
que é muito maior que . Portanto rejeitamos ao nível . - O p-valor é extremamente pequeno (próximo de zero); aproximando,
. Isso confirma a decisão de rejeição.
Interpretação prática: há evidência estatística forte de que as médias de produtividade dos dois grupos são diferentes. Observou-se que a média dos sêniores (
) é significativamente maior que a dos juniores (
), diferença amostral de
unidades/h.
Resposta
Rejeita-se
. As produtividades não são iguais; média dos juniores
, média dos sêniores
;
,
,
.