Q1) Suponha que X_{i}, i=1, \ldots 36, sejam variáveis aleatórias independentes cada uma delas tendo distribuição de Poisson com \lambda=0,05. Calcule:
(a) P\left(X_{1} \leq 1 \mid X_{1} \geq 0\right);
(b) Empregando o Teorema Central do Limite, calcule uma aproximação para P\left(\sum_{i=1}^{36} X_{i} \geq 3\right);
(c) Calcule o valor exato dessa probabilidade, P\left(\sum_{i=1}^{36} X_{i} \geq 3\right).
Observação: A soma de v.a. independentes com distribuição de Poisson tem também distribuição de Poisson. Quando se aproxima uma v.a. discreta por uma contínua cabe usar a correção de continuidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
  • Temos variáveis aleatórias independentes X_{i} para i=1,\ldots,36.
  • Cada X_{i} tem distribuição de Poisson com parâmetro \lambda=0,05.
  • Perguntas:
    (a) Calcular P\bigl(X_{1}\leq 1 \mid X_{1}\geq 0\bigr).
    (b) Usando o Teorema Central do Limite (com correção de continuidade), aproximar P\bigl(\sum_{i=1}^{36} X_{i} \geq 3\bigr).
    (c) Calcular o valor exato de P\bigl(\sum_{i=1}^{36} X_{i} \geq 3\bigr).
Observação útil que o enunciado já deu (vamos usar): a soma de v.a. independentes com distribuição de Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros.

Passo 2

Entendendo a parte (a) e a fórmula do Poisson (mini-aula):
  • A função massa de probabilidade da Poisson com parâmetro \lambda é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots
onde \lambda é a média e também a variância da Poisson.
  • No problema \lambda=0,05 para X_{1}.

Passo 3

Resolvendo (a) passo a passo:
  • Note que para qualquer variável Poisson (ou qualquer variável que conte ocorrências) vale P\bigl(X_{1}\geq 0\bigr)=1, pois X_{1} só assume valores inteiros \geq 0.
  • Assim a probabilidade condicional simplifica para
P\bigl(X_{1}\leq 1 \mid X_{1}\geq 0\bigr)=P\bigl(X_{1}\leq 1\bigr)=P(X_1=0)+P(X_1=1).
  • Usando a fórmula da Poisson com \lambda=0,05:
P(X_1=0)=e^{-0,05}\frac{0,05^{0}}{0!}=e^{-0,05},
P(X_1=1)=e^{-0,05}\frac{0,05^{1}}{1!}=0,05\,e^{-0,05}.
  • Somando:
P(X_1\leq1)=e^{-0,05}\bigl(1+0,05\bigr)=e^{-0,05}\cdot 1,05.
  • Calculando numericamente (uma conta simples que dá para fazer na prova com calculadora):
e^{-0,05}\approx 0,9512294245,
P(X_1\leq1)\approx 0,9512294245\times 1,05\approx 0,9987908957.

Passo 4

Preparando (b): identificar a soma e suas características (mini-aula sobre soma de Poissons e CLT):
  • Seja S=\sum_{i=1}^{36} X_{i}.
  • Como cada X_{i} é Poisson (0,05) e são independentes, pela propriedade mencionada S tem distribuição Poisson com parâmetro
\lambda_S=\sum_{i=1}^{36}0,05=36\times 0,05=1,8.
  • Assim \mathbb{E}[S]=1,8 e \mathrm{Var}(S)=1,8.
  • O Teorema Central do Limite (versão prática para soma de muitas v.a. independentes com média finita) diz que, para n grande, a soma pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância:
S\approx Y\sim N\bigl(\mu=1,8,\\ \sigma^{2}=1,8\bigr),
ou seja \sigma=\sqrt{1,8}.

Passo 5

Correção de continuidade e aplicação numérica para (b):
  • Como S é discreta (valores inteiros), ao aproximar por uma normal contínua devemos aplicar correção de continuidade. Para calcular P(S\geq 3) usamos o limite que separa 2 e 3, ou seja 2{,}5. Assim
P(S\geq 3)\approx P\bigl(Y\geq 2{,}5\bigr).
  • Padronizando: Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma} tem distribuição padrão N(0,1). Calculamos
\sigma=\sqrt{1,8}\approx 1{,}341640786,
z=\frac{2{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{2{,}5-1{,}8}{1{,}341640786}=\frac{0{,}7}{1{,}341640786}\approx 0{,}5210.
  • Então
P\bigl(Y\geq 2{,}5\bigr)=1-\Phi(z)\approx 1-\Phi(0{,}5210).
  • Usando tabelas ou calculadora da normal padrão, \Phi(0{,}5210)\approx 0{,}6988 (valor aproximado). Logo
P(S\geq 3)\approx 1-0{,}6988\approx 0{,}3012.
  • Observação didática: a aproximação por CLT aqui é razoável, mas não perfeita, porque a média total 1{,}8 não é muito grande; a correção de continuidade é importante para melhorar a aproximação.

Passo 6

Resolvendo (c) exatamente usando Poisson (passo a passo):
  • Como já observado, S\sim Poisson (\lambda_S=1{,}8).
  • A probabilidade exata pedida é
P(S\geq 3)=1-P(S\leq 2)=1-\bigl[P(S=0)+P(S=1)+P(S=2)\bigr].
  • Usando a fórmula da Poisson:
P(S=0)=e^{-1{,}8}\frac{1{,}8^{0}}{0!}=e^{-1{,}8},
P(S=1)=e^{-1{,}8}\frac{1{,}8^{1}}{1!}=1{,}8\,e^{-1{,}8},
P(S=2)=e^{-1{,}8}\frac{1{,}8^{2}}{2!}=\frac{1{,}8^{2}}{2}\,e^{-1{,}8}=\;1{,}62\,e^{-1{,}8}.
  • Somando as três probabilidades:
P(S\leq 2)=e^{-1{,}8}\bigl(1+1{,}8+1{,}62\bigr)=e^{-1{,}8}\cdot 4{,}42.
  • Calculando numericamente:
e^{-1{,}8}\approx 0{,}1652988882,
P(S\leq 2)\approx 0{,}1652988882\times 4{,}42\approx 0{,}7306210859.
  • Portanto
P(S\geq 3)=1-P(S\leq 2)\approx 1-0{,}7306210859\approx 0{,}2693789141.

Passo 7

Comparação rápida (útil para a prova): a aproximação pelo CLT com correção deu aproximadamente 0{,}3012, enquanto o cálculo exato deu 0{,}26938. A diferença existe porque a média total é relativamente pequena; ainda assim a aproximação dá uma ideia razoável do valor.

Resposta

(a) 0{,}9987908957
(b) 0{,}3012 (aproximação pelo CLT com correção de continuidade)
(c) 0{,}2693789141

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