Q1) Suponha que
, sejam variáveis aleatórias independentes cada uma delas tendo distribuição de Poisson com
. Calcule:
(a)
;
(b) Empregando o Teorema Central do Limite, calcule uma aproximação para
;
(c) Calcule o valor exato dessa probabilidade,
.
Observação: A soma de v.a. independentes com distribuição de Poisson tem também distribuição de Poisson. Quando se aproxima uma v.a. discreta por uma contínua cabe usar a correção de continuidade.
(a)
(b) Empregando o Teorema Central do Limite, calcule uma aproximação para
(c) Calcule o valor exato dessa probabilidade,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
- Temos variáveis aleatórias independentes
para . - Cada
tem distribuição de Poisson com parâmetro . - Perguntas:
(a) Calcular.
(b) Usando o Teorema Central do Limite (com correção de continuidade), aproximar.
(c) Calcular o valor exato de.
Observação útil que o enunciado já deu (vamos usar): a soma de v.a. independentes com distribuição de Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros.
Passo 2
Entendendo a parte (a) e a fórmula do Poisson (mini-aula):
- A função massa de probabilidade da Poisson com parâmetro
é
onde
é a média e também a variância da Poisson.
- No problema
para .
Passo 3
Resolvendo (a) passo a passo:
- Note que para qualquer variável Poisson (ou qualquer variável que conte ocorrências) vale
, pois só assume valores inteiros . - Assim a probabilidade condicional simplifica para
- Usando a fórmula da Poisson com
:
- Somando:
- Calculando numericamente (uma conta simples que dá para fazer na prova com calculadora):
Passo 4
Preparando (b): identificar a soma e suas características (mini-aula sobre soma de Poissons e CLT):
- Seja
. - Como cada
é Poisson e são independentes, pela propriedade mencionada tem distribuição Poisson com parâmetro
- Assim
e . - O Teorema Central do Limite (versão prática para soma de muitas v.a. independentes com média finita) diz que, para
grande, a soma pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância:
ou seja
.
Passo 5
Correção de continuidade e aplicação numérica para (b):
- Como
é discreta (valores inteiros), ao aproximar por uma normal contínua devemos aplicar correção de continuidade. Para calcular usamos o limite que separa e , ou seja . Assim
- Padronizando:
tem distribuição padrão . Calculamos
- Então
- Usando tabelas ou calculadora da normal padrão,
(valor aproximado). Logo
- Observação didática: a aproximação por CLT aqui é razoável, mas não perfeita, porque a média total
não é muito grande; a correção de continuidade é importante para melhorar a aproximação.
Passo 6
Resolvendo (c) exatamente usando Poisson (passo a passo):
- Como já observado,
Poisson . - A probabilidade exata pedida é
- Usando a fórmula da Poisson:
- Somando as três probabilidades:
- Calculando numericamente:
- Portanto
Passo 7
Comparação rápida (útil para a prova): a aproximação pelo CLT com correção deu aproximadamente
, enquanto o cálculo exato deu
. A diferença existe porque a média total é relativamente pequena; ainda assim a aproximação dá uma ideia razoável do valor.
Resposta
(a)
(b) (aproximação pelo CLT com correção de continuidade)
(c)
(b)
(c)