Um fabricante de equipamentos esportivos desenvolveu uma nova linha de pesca sintética que ele afirma ter média de carga de ruptura de 8 quilogramas com desviopadrão de
. Teste a hipótese de que
quilogramas contra a alternativa mu diferente de 8 quilogramas, se uma amostra aleatória de 50 linhas for testada e descobrir-se uma carga de ruptura de
. Use um nível de significância de 0,01 .
◯ zcalc
e não se rejeita H 0 .
◯ zcalc
e rejeita-se H 0 .
◯ nenhuma das alternativas
◯ zcalc
e não se rejeita H 0 .
◯ zcalc
e rejeita-se H 0 .
◯ zcalc
◯ zcalc
◯ nenhuma das alternativas
◯ zcalc
◯ zcalc
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Média hipotética da população
(quilogramas). - Desvio-padrão populacional conhecido
. - Tamanho da amostra
. - Média amostral observada
. - Nível de significância
.
- Média hipotética da população
- O enunciado pede testar a hipótese nula contra alternativa bilateral:
-
- Pergunta implícita: calcular o valor do teste
e decidir, ao nível , se rejeita ou não.
Passo 2
Qual teste usar e por quê — explicação didática.
- Como o desvio-padrão populacional
é conhecido, para testar hipótese sobre a média usamos o teste z (teste normal). - A estatística de teste z é a razão entre a diferença observada da média e o erro padrão da média. A fórmula é:
Aqui:
-
é a média da amostra (valor observado), -
é a média sob a hipótese nula, -
é o desvio-padrão da população, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila de amostra para amostra). - Para um teste bilateral com nível
, a região crítica é , onde é o quantil da normal padrão.
Passo 3
Calcular o erro padrão da média passo a passo.
- Primeiro calcule
:
- O erro padrão é
Explanação: o erro padrão diz quanto é típico a média amostral se afastar da média verdadeira — quanto maior
, menor o erro padrão.
Passo 4
Calcular a estatística
com as contas explícitas.
- A diferença entre média amostral e hipótese:
- Agora a estatística:
- Arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas):
Comentário: o sinal negativo indica que a média amostral está abaixo da média sob
; para teste bilateral usamos o valor absoluto para comparar com a região crítica.
Passo 5
Determinar o valor crítico e a regra de decisão para
.
- Para teste bilateral, os quantis críticos são
. - O valor tabelado é aproximadamente
- Regra: rejeitar
se .
Passo 6
Comparação numérica e conclusão.
- Calculamos
. - Como
, a estatística cai na região crítica. - Portanto, ao nível
, rejeitamos . Em linguagem direta: há evidência estatística suficiente para concluir que a média difere de kg.
Passo 7
Verificação pelo p-valor (opcional, para reforçar entendimento).
- O p-valor bilateral é
para . - Usando tabela ou calculadora normal padrão,
. - Então
- Como
, isso confirma a decisão de rejeitar .
Resposta
zcalc
e rejeita-se
.