Um fabricante de equipamentos esportivos desenvolveu uma nova linha de pesca sintética que ele afirma ter média de carga de ruptura de 8 quilogramas com desviopadrão de 0,5 \mathrm{~kg}. Teste a hipótese de que \mathrm{mu}=8 quilogramas contra a alternativa mu diferente de 8 quilogramas, se uma amostra aleatória de 50 linhas for testada e descobrir-se uma carga de ruptura de 7,8 \mathrm{~kg}. Use um nível de significância de 0,01 .
◯ zcalc =-2,83 e não se rejeita H 0 .
◯ zcalc =2,83 e rejeita-se H 0 .
◯ nenhuma das alternativas
◯ zcalc =2,83 e não se rejeita H 0 .
◯ zcalc =-2,83 e rejeita-se H 0 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Média hipotética da população \mu_0 = 8 (quilogramas).
    • Desvio-padrão populacional conhecido \sigma = 0{,}5\\ \mathrm{kg}.
    • Tamanho da amostra n = 50.
    • Média amostral observada \bar{x} = 7{,}8\\ \mathrm{kg}.
    • Nível de significância \alpha = 0{,}01.
  • O enunciado pede testar a hipótese nula contra alternativa bilateral:
    • H_0:\\ \mu = 8
    • H_1:\\ \mu \neq 8
  • Pergunta implícita: calcular o valor do teste z_{\text{calc}} e decidir, ao nível \alpha=0{,}01, se rejeita H_0 ou não.

Passo 2

Qual teste usar e por quê — explicação didática.
  • Como o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, para testar hipótese sobre a média \mu usamos o teste z (teste normal).
  • A estatística de teste z é a razão entre a diferença observada da média e o erro padrão da média. A fórmula é:
z \;=\; \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{x} é a média da amostra (valor observado),
  • \mu_0 é a média sob a hipótese nula,
  • \sigma é o desvio-padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila de amostra para amostra).
  • Para um teste bilateral com nível \alpha, a região crítica é |z| > z_{1-\alpha/2}, onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média passo a passo.
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{n} = \sqrt{50}\approx 7{,}071.
  • O erro padrão é
\text{EP}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}5}{\sqrt{50}}=\frac{0{,}5}{7{,}071}\approx 0{,}07071.
Explanação: o erro padrão diz quanto é típico a média amostral se afastar da média verdadeira — quanto maior n, menor o erro padrão.

Passo 4

Calcular a estatística z com as contas explícitas.
  • A diferença entre média amostral e hipótese:
\bar{x}-\mu_0 = 7{,}8-8 = -0{,}2.
  • Agora a estatística:
z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\text{EP}} = \frac{-0{,}2}{0{,}07071}\approx -2{,}828\ldots
  • Arredondando para duas casas decimais (como nas alternativas):
z_{\text{calc}}\approx -2{,}83.
Comentário: o sinal negativo indica que a média amostral está abaixo da média sob H_0; para teste bilateral usamos o valor absoluto para comparar com a região crítica.

Passo 5

Determinar o valor crítico e a regra de decisão para \alpha=0{,}01.
  • Para teste bilateral, os quantis críticos são \pm z_{1-\alpha/2} = \pm z_{0{,}995}.
  • O valor tabelado é aproximadamente
z_{0{,}995}\approx 2{,}5758\approx 2{,}58.
  • Regra: rejeitar H_0 se |z_{\text{calc}}|>2{,}5758.

Passo 6

Comparação numérica e conclusão.
  • Calculamos |z_{\text{calc}}| \approx 2{,}83.
  • Como 2{,}83 > 2{,}5758, a estatística cai na região crítica.
  • Portanto, ao nível \alpha=0{,}01, rejeitamos H_0. Em linguagem direta: há evidência estatística suficiente para concluir que a média difere de 8 kg.

Passo 7

Verificação pelo p-valor (opcional, para reforçar entendimento).
  • O p-valor bilateral é p = 2\cdot P(Z\le z_{\text{calc}}) para z_{\text{calc}}<0.
  • Usando tabela ou calculadora normal padrão, P(Z\le -2{,}828)\approx 0{,}00234.
  • Então
p \approx 2\cdot 0{,}00234 = 0{,}00468.
  • Como p\approx 0{,}00468 < \alpha=0{,}01, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Resposta

zcalc -2{,}83 e rejeita-se H_0.

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