Suponha que o time A tenha probabilidade de 0,55 de ganhar do time B e que ambos os times A e B se enfrentam nos jogos do campeonato de basquete. Se ambos os times se enfrentam nas finais regionais e o vencedor é decidido quando ganha três ou mais jogos de um total de cinco jogos, qual é a probabilidade de que o time A vença uma final?
◯ 0,6083
◯ 0,8147
◯ 0,5931
◯ 0,3917
◯ 0,1853

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Foi dado que a probabilidade de o time A ganhar um jogo contra o time B é \,p=0,55\,.
  • A final é disputada em melhor de cinco jogos: o vencedor é quem alcançar 3 vitórias primeiro (ou seja, séries com no máximo 5 jogos).
  • A pergunta: qual é a probabilidade de que o time A vença a final?

Passo 2

Ideia geral de resolução (sem calcular ainda):
  • A série acaba assim que um time obtém 3 vitórias. Para o time A vencer a final, ele pode vencer a série em exatamente 3 jogos, ou em exatamente 4 jogos, ou em exatamente 5 jogos.
  • Os jogos são assumidos independentes e com mesma probabilidade p de vitória do A em cada jogo.
  • Vou calcular a probabilidade de A vencer em exatamente 3, em exatamente 4 e em exatamente 5 jogos e somar essas probabilidades, porque esses três cenários são mutuamente exclusivos e cobrem todos os casos em que A ganha a série.

Passo 3

Probabilidade de A vencer a série em exatamente 3 jogos:
  • Para isso, A precisa ganhar os três primeiros jogos. Como os jogos são independentes, a probabilidade é
\text{P(A vence em 3)} = p^3.

Passo 4

Probabilidade de A vencer a série em exatamente 4 jogos:
  • Para A ganhar a série em 4 jogos, nos primeiros 3 jogos ele deve ter exatamente 2 vitórias (e 1 derrota), e então ganhar o 4.º jogo.
  • O número de sequências possíveis dos primeiros 3 jogos com exatamente 2 vitórias de A é \binom{3}{2}=3.
  • A probabilidade de uma sequência com exatamente 2 vitórias e 1 derrota é p^2(1-p). Multiplicando pela vitória no 4.º jogo (fator p) e pelo número de sequências, obtemos
\text{P(A vence em 4)} = \binom{3}{2}\,p^2(1-p)\cdot p = 3\,p^3(1-p).

Passo 5

Probabilidade de A vencer a série em exatamente 5 jogos:
  • Para A ganhar em 5 jogos, nos primeiros 4 jogos ele deve ter exatamente 2 vitórias (e 2 derrotas), e então ganhar o 5.º jogo.
  • O número de sequências dos primeiros 4 jogos com exatamente 2 vitórias é \binom{4}{2}=6.
  • A probabilidade de uma sequência com 2 vitórias e 2 derrotas é p^2(1-p)^2. Multiplicando pela vitória no jogo 5 (fator p) e pelo número de sequências:
\text{P(A vence em 5)} = \binom{4}{2}\,p^2(1-p)^2\cdot p = 6\,p^3(1-p)^2.

Passo 6

Somando todos os casos (3, 4 e 5 jogos) obtemos a probabilidade total de A vencer a série:
\begin{aligned} \text{P(A vence série)} &= p^3 + 3\,p^3(1-p) + 6\,p^3(1-p)^2 \\\ &= p^3\bigl(1 + 3(1-p) + 6(1-p)^2\bigr). \end{aligned}é
Agora substituo p=0,55 e calculo passo a passo:
  • p^2 = 0,55^2 = 0,3025.
  • p^3 = 0,55^3 = 0,166375.
  • 1-p = 0,45.
  • (1-p)^2 = 0,45^2 = 0,2025.
Calcule os termos:
\begin{aligned} p^3 &= 0,166375,\\\\ 3\,p^3(1-p) &= 3\cdot 0,166375\cdot 0,45 = 0,22460625,\\\\ 6\,p^3(1-p)^2 &= 6\cdot 0,166375\cdot 0,2025 = 0,202145625. \end{aligned}
Somando:
\text{P(A vence série)} = 0,166375 + 0,22460625 + 0,202145625 = 0,593126875.é
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), temos \,0,5931\,.

Passo 7

Interpretação final rápida e dica para a prova:
  • Uma forma alternativa (às vezes usada para séries “melhor de cinco”) é ver que A vence a final se ganhar pelo menos 3 dos primeiros 5 jogos; isso leva à soma das probabilidades binomiais \sum_{k=3}^{5}\binom{5}{k}p^k(1-p)^{5-k}, que dá o mesmo número. Em provas, usar a que você achar mais simples — contar sequências até o término ou usar o binomial para “pelo menos 3 em 5” — ambas são válidas.
  • Não se assuste: aplicar a ideia de “exatamente 2 vitórias nos primeiros jogos e ganhar o último” é padrão para problemas de séries.

Resposta

0,5931

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