Suponha que o time A tenha probabilidade de 0,55 de ganhar do time B e que ambos os times A e B se enfrentam nos jogos do campeonato de basquete. Se ambos os times se enfrentam nas finais regionais e o vencedor é decidido quando ganha três ou mais jogos de um total de cinco jogos, qual é a probabilidade de que o time A vença uma final?
◯ 0,6083
◯ 0,8147
◯ 0,5931
◯ 0,3917
◯ 0,1853
◯ 0,6083
◯ 0,8147
◯ 0,5931
◯ 0,3917
◯ 0,1853
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Foi dado que a probabilidade de o time A ganhar um jogo contra o time B é
. - A final é disputada em melhor de cinco jogos: o vencedor é quem alcançar 3 vitórias primeiro (ou seja, séries com no máximo 5 jogos).
- A pergunta: qual é a probabilidade de que o time A vença a final?
Passo 2
Ideia geral de resolução (sem calcular ainda):
- A série acaba assim que um time obtém 3 vitórias. Para o time A vencer a final, ele pode vencer a série em exatamente 3 jogos, ou em exatamente 4 jogos, ou em exatamente 5 jogos.
- Os jogos são assumidos independentes e com mesma probabilidade
de vitória do A em cada jogo. - Vou calcular a probabilidade de A vencer em exatamente 3, em exatamente 4 e em exatamente 5 jogos e somar essas probabilidades, porque esses três cenários são mutuamente exclusivos e cobrem todos os casos em que A ganha a série.
Passo 3
Probabilidade de A vencer a série em exatamente 3 jogos:
- Para isso, A precisa ganhar os três primeiros jogos. Como os jogos são independentes, a probabilidade é
Passo 4
Probabilidade de A vencer a série em exatamente 4 jogos:
- Para A ganhar a série em 4 jogos, nos primeiros 3 jogos ele deve ter exatamente 2 vitórias (e 1 derrota), e então ganhar o 4.º jogo.
- O número de sequências possíveis dos primeiros 3 jogos com exatamente 2 vitórias de A é
. - A probabilidade de uma sequência com exatamente 2 vitórias e 1 derrota é
. Multiplicando pela vitória no 4.º jogo (fator ) e pelo número de sequências, obtemos
Passo 5
Probabilidade de A vencer a série em exatamente 5 jogos:
- Para A ganhar em 5 jogos, nos primeiros 4 jogos ele deve ter exatamente 2 vitórias (e 2 derrotas), e então ganhar o 5.º jogo.
- O número de sequências dos primeiros 4 jogos com exatamente 2 vitórias é
. - A probabilidade de uma sequência com 2 vitórias e 2 derrotas é
. Multiplicando pela vitória no jogo 5 (fator ) e pelo número de sequências:
Passo 6
Somando todos os casos (3, 4 e 5 jogos) obtemos a probabilidade total de A vencer a série:
Agora substituo
e calculo passo a passo:
-
. -
. -
. -
.
Calcule os termos:
Somando:
Arredondando para quatro casas decimais (como nas alternativas), temos
.
Passo 7
Interpretação final rápida e dica para a prova:
- Uma forma alternativa (às vezes usada para séries “melhor de cinco”) é ver que A vence a final se ganhar pelo menos 3 dos primeiros 5 jogos; isso leva à soma das probabilidades binomiais
, que dá o mesmo número. Em provas, usar a que você achar mais simples — contar sequências até o término ou usar o binomial para “pelo menos 3 em 5” — ambas são válidas. - Não se assuste: aplicar a ideia de “exatamente 2 vitórias nos primeiros jogos e ganhar o último” é padrão para problemas de séries.