2-) Uma máquina de encher sacos plásticos de leite foi ajustada para um volume ( mL ) ~ V \sim \mathrm{~N}(1000,00 ; 625,00). O ajuste deve ser sempre verificado, pois o Serviço de Inspeção Federal - SIF multa o fabricante se as amostras aleatórias acusarem volume médio inferior a 950 mL e os sacos poderão romper-se no transporte se contiverem mais que 1050 mL de leite. Se amostras com 25 sacos são coletadas aleatoriamente, sem reposição pelo SIF, de lotes com 750 sacos, qual será: a-) a média da distribuição amostral do volume médio? b-) o desvio padrão da distribuição amostral do volume médio? c-) a probabilidade do volume amostral médio estar entre 990 mL e 1010 mL ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • A variável volume de cada saco segue \,V\sim\mathrm{N}(1000,00;625,00). Ou seja:
    • média populacional \mu = 1000{,}00 mL;
    • variância populacional \sigma^2 = 625{,}00 (\text{mL})^2, logo desvio padrão populacional \sigma = 25{,}00 mL.
  • Tamanho da amostra aleatória (sem reposição): n=25.
  • Tamanho do lote (população finita): N=750.
O enunciado pede:
a) a média da distribuição amostral do volume médio;
b) o desvio padrão da distribuição amostral do volume médio;
c) a probabilidade de o volume amostral médio estar entre 990 mL e 1010 mL.

Passo 2

Qual é a média da distribuição amostral do volume médio?
Teoria rápida (explicando o que vou usar): se \bar{X} é a média amostral de uma amostra aleatória da população, vale a propriedade
\mathbb{E}(\bar{X}) = \mu,
ou seja, a média da distribuição amostral da média é igual à média populacional. Isso não depende de haver ou não reposição — a média será igual a \mu.
Aplicando aos números do enunciado:
\mathbb{E}(\bar{X}) = \mu = 1000{,}00\\ \text{mL}.

Passo 3

Qual é o desvio padrão da distribuição amostral da média? (explicando passo a passo)
Teoria necessária:
  • Para amostras retiradas com substituição (ou população infinita), o desvio padrão da média (erro-padrão) é
\mathrm{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \sigma é o desvio padrão populacional e n o tamanho da amostra.
  • Para amostra sem reposição retirada de uma população finita de tamanho N, aplica-se o fator de correção populacional (FPC):
\mathrm{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.
Aqui: \sigma é o desvio padrão populacional, n é o tamanho da amostra e N é o tamanho da população.
Agora calculamos com os valores do enunciado:
Primeiro calcule \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{25{,}00}{\sqrt{25}}=\frac{25{,}00}{5}=5{,}00\\ \text{mL}.
Calcule o fator de correção finita:
\frac{N-n}{N-1}=\frac{750-25}{750-1}=\frac{725}{749}.
Vamos aproximar numericamente:
\frac{725}{749}\approx 0{,}967956\quad(\text{aprox.}).
Agora a raiz:
\sqrt{\frac{725}{749}}\approx 0{,}98386\quad(\text{aprox.}).
Portanto o desvio padrão da média é
\mathrm{SE}(\bar{X}) = 5{,}00\times 0{,}98386 \approx 4{,}9193\\ \text{mL}.
Arredondando de forma prática para a prova:
\mathrm{SE}(\bar{X}) \approx 4{,}92\\ \text{mL}.

Passo 4

Distribuição da média amostral e cálculo das probabilidades: explicação da ideia
Como a variável individual V é normal, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal exata com média \mu_{\bar{X}}=\mu e desvio padrão \mathrm{SE}(\bar{X}) calculado acima. Ou seja,
\bar{X}\sim\mathrm{N}\bigl(1000{,}00,\; (4{,}9193)^2\bigr).
Queremos a probabilidade
\mathbb{P}\bigl(990 \le \bar{X} \le 1010\bigr).
Para calcular usa-se a padronização (transformar em Z da normal padrão):
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\mathrm{SE}(\bar{X})}.

Passo 5

Cálculo numérico dos escores Z e da probabilidade
Calcule Z para 990:
Z_1=\frac{990-1000}{4{,}9193}=\frac{-10}{4{,}9193}\approx -2{,}0335.
Calcule Z para 1010:
Z_2=\frac{1010-1000}{4{,}9193}=\frac{10}{4{,}9193}\approx 2{,}0335.
A probabilidade desejada é
\mathbb{P}(-2{,}0335 \le Z \le 2{,}0335)=\Phi(2{,}0335)-\Phi(-2{,}0335).
Usando a simetria da normal padrão e tabelas/valores conhecidos,
\Phi(2{,}0335)\approx 0{,}97898\quad\Rightarrow\quad \mathbb{P} = 2\cdot 0{,}97898 -1 \approx 0{,}95796.
Arredondando:
\mathbb{P}\bigl(990 \le \bar{X} \le 1010\bigr)\approx 0{,}958\quad\text{(ou }95{,}8\%\text{)}.

Resposta

a) \mathbb{E}(\bar{X}) = 1000{,}00\\ \text{mL}
b) \mathrm{SE}(\bar{X}) \approx 4{,}92\\ \text{mL}
c) \mathbb{P}(990 \le \bar{X} \le 1010)\approx 0{,}958

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