2-) Uma máquina de encher sacos plásticos de leite foi ajustada para um volume ( mL
. O ajuste deve ser sempre verificado, pois o Serviço de Inspeção Federal - SIF multa o fabricante se as amostras aleatórias acusarem volume médio inferior a 950 mL e os sacos poderão romper-se no transporte se contiverem mais que 1050 mL de leite. Se amostras com 25 sacos são coletadas aleatoriamente, sem reposição pelo SIF, de lotes com 750 sacos, qual será: a-) a média da distribuição amostral do volume médio? b-) o desvio padrão da distribuição amostral do volume médio? c-) a probabilidade do volume amostral médio estar entre 990 mL e 1010 mL ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- A variável volume de cada saco segue
. Ou seja: - média populacional
mL; - variância populacional
, logo desvio padrão populacional mL.
- média populacional
- Tamanho da amostra aleatória (sem reposição):
. - Tamanho do lote (população finita):
.
O enunciado pede:
a) a média da distribuição amostral do volume médio;
b) o desvio padrão da distribuição amostral do volume médio;
c) a probabilidade de o volume amostral médio estar entre mL e
mL.
a) a média da distribuição amostral do volume médio;
b) o desvio padrão da distribuição amostral do volume médio;
c) a probabilidade de o volume amostral médio estar entre
Passo 2
Qual é a média da distribuição amostral do volume médio?
Teoria rápida (explicando o que vou usar): se
é a média amostral de uma amostra aleatória da população, vale a propriedade
ou seja, a média da distribuição amostral da média é igual à média populacional. Isso não depende de haver ou não reposição — a média será igual a
.
Aplicando aos números do enunciado:
Passo 3
Qual é o desvio padrão da distribuição amostral da média? (explicando passo a passo)
Teoria necessária:
- Para amostras retiradas com substituição (ou população infinita), o desvio padrão da média (erro-padrão) é
onde
é o desvio padrão populacional e
o tamanho da amostra.
- Para amostra sem reposição retirada de uma população finita de tamanho
, aplica-se o fator de correção populacional (FPC):
Aqui:
é o desvio padrão populacional,
é o tamanho da amostra e
é o tamanho da população.
Agora calculamos com os valores do enunciado:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Calcule o fator de correção finita:
Vamos aproximar numericamente:
Agora a raiz:
Portanto o desvio padrão da média é
Arredondando de forma prática para a prova:
Passo 4
Distribuição da média amostral e cálculo das probabilidades: explicação da ideia
Como a variável individual
é normal, a média amostral
tem distribuição normal exata com média
e desvio padrão
calculado acima. Ou seja,
Queremos a probabilidade
Para calcular usa-se a padronização (transformar em
da normal padrão):
Passo 5
Cálculo numérico dos escores
e da probabilidade
Calcule
para
:
Calcule
para
:
A probabilidade desejada é
Usando a simetria da normal padrão e tabelas/valores conhecidos,
Arredondando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)