Um fabricante modelou sua função 
  da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
 
onde 
  é o número de horas trabalhadas (em milhares) e 
  é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre 
  e interprete-o.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função de produção anual 
  que representa o valor monetário da produção em milhões de dólares. Essa função é do tipo Cobb-Douglas, que é bastante usada na economia para modelar relações entre insumos e produção. Aqui, 
  é o número de horas trabalhadas (em milhares) e 
  é o capital investido (em milhões de dólares). Nosso objetivo é encontrar o valor de 
 , ou seja, calcular a produção anual quando 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que a gente vai usar. A função de produção é dada por:
Isso significa que para encontrar 
 , vamos substituir 
  por 120 e 
  por 20 nessa equação.
Passo 3
Vamos fazer as substituições e calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos cada parte:
- 
: para resolver isso, usamos a calculadora.  - 
: também usamos a calculadora.  
Agora, multiplicamos todos os valores:
Passo 4
O resultado 
  significa que, com 120 mil horas trabalhadas e 20 milhões de dólares investidos em capital, a produção anual da empresa é de aproximadamente 6 milhões de dólares. Isso nos mostra como a combinação desses insumos está relacionada ao valor total produzido.