Utilize as Equações 7 para determinar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
x^{2}-y^{2}+z^{2}-2 z=4

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z=4
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.
O conteúdo envolvido é diferenciação implícita de uma função F(x,y,z)=0, usando a regra
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z-4.
Calculamos as derivadas parciais de F:
F_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z-4)=2x,
F_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z-4)=-2y,
F_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}-y^{2}+z^{2}-2z-4)=2z-2.

Passo 3

Usando as fórmulas da diferenciação implícita:
\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{F_{x}}{F_{z}} =-\frac{2x}{2z-2} =-\frac{x}{\,z-1\,},
\frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{F_{y}}{F_{z}} =-\frac{-2y}{2z-2} =\frac{y}{\,z-1\,}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{\,z-1\,}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\,z-1\,}.

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