Utilize as Equações 7 para determinar \partial z / \partial x e \partial z / \partial y.
y z+x \ln y=z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y\,z + x\,\ln y = z^{2}
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y. O conteúdo é “diferenciação implícita” (Equações 7), que dizem
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z},
onde F(x,y,z)=0 é a equação que define z.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = y\,z + x\,\ln y - z^{2}.
Calculamos as derivadas parciais de F:
F_x = \frac{\partial}{\partial x}(y\,z) + \frac{\partial}{\partial x}(x\,\ln y) - \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = 0 + \ln y - 0 = \ln y,
F_y = \frac{\partial}{\partial y}(y\,z) + \frac{\partial}{\partial y}(x\,\ln y) - \frac{\partial}{\partial y}(z^2) = z + x\cdot\frac{1}{y} - 0 = z + \frac{x}{y},
F_z = \frac{\partial}{\partial z}(y\,z) + \frac{\partial}{\partial z}(x\,\ln y) - \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = y + 0 - 2\,z = y - 2\,z.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{\ln y}{\,y - 2z\,}.

Passo 4

Analogamente,
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{\,z + \frac{x}{y}\,}{\,y - 2z\,}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\ln y}{y - 2z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{z + \frac{x}{y}}{y - 2z}.

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