Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Sabendo que as caixas terão volume de
. Determine a lei de formação que descreve a quantidade de papelão necessária para confeccionar esta caixa. Se o comprimento for
quanto de papelão será necessário para a confecção?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Informações dadas:
- A base da caixa é um retângulo cujo comprimento é o triplo da largura.
- O volume da caixa (com tampa, ou seja caixa fechada) é
. - Queremos a quantidade de papelão necessária (área total de superfície) para confeccionar a caixa.
-
Perguntas pedidas:
- Determinar a lei de formação que descreve a quantidade de papelão necessária em função de uma dimensão (por exemplo, em função da largura).
- Calcular a quantidade de papelão necessária quando o comprimento é
.
Passo 2
Definindo variáveis (sempre a primeira coisa prática):
- Seja
a largura da base da caixa (em metros). Então . - Como o comprimento é o triplo da largura, o comprimento é
(em metros). - Seja
a altura da caixa (em metros).
Explico: escolher a largura
como variável é natural porque o enunciado relaciona comprimento e largura. No fim poderemos também expressar a área em função do comprimento se preferir — é só substituir
comprimento/3.
Passo 3
Usar a condição do volume para relacionar
com
.
- O volume de uma caixa retangular fechada é a área da base vezes a altura. A área da base é comprimento
largura, isto é . - Assim a condição do volume
dá:
- Isolando a altura
:
Comentário didático: isso significa que, para manter o volume fixo, a altura diminui quando a largura aumenta, conforme
.
Passo 4
Determinar a fórmula da área total de papelão necessária (superfície externa da caixa com tampa).
Vamos construir a expressão somando todas as peças de papelão que formam a caixa fechada:
- Base: área
comprimento largura . - Tampa (parte superior): tem a mesma área da base, então mais
. - Soma base + tampa
.
- Soma base + tampa
- Laterais: são quatro retângulos:
- Duas faces com dimensões comprimento
altura: cada uma tem área . Duas juntas: . - Duas faces com dimensões largura
altura: cada uma tem área . Duas juntas: . - Soma das quatro laterais
.
- Duas faces com dimensões comprimento
Portanto a área total de papelão
em função de
e
é
Passo 5
Substituir a expressão de
encontrada no Passo 3 na fórmula da área para obter a lei de formação em função só de
.
- Lembrando que
, substituímos em :
- Simplificando o segundo termo:
- Logo a lei de formação é
Explicação do que cada termo significa:
-
vem da soma da base e da tampa; -
vem da área total das quatro laterais, com a altura substituída pela relação dada pelo volume fixo.
Passo 6
Calcular a quantidade de papelão quando o comprimento é
.
- Como o comprimento é
e foi dado que esse comprimento vale , temos
- Substituindo na lei
:
- Unidades: área em metros quadrados, então a quantidade de papelão necessária é
.
Comentário motivador: pronto — com as contas direitinhas deu
. Tá ótimo! Só lembrar de sempre checar unidades (volume em m^3 -> dimensões em m -> área em m^2).