Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Sabendo que as caixas terão volume de 36 m^{3}. Determine a lei de formação que descreve a quantidade de papelão necessária para confeccionar esta caixa. Se o comprimento for 3 m quanto de papelão será necessário para a confecção?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • A base da caixa é um retângulo cujo comprimento é o triplo da largura.
    • O volume da caixa (com tampa, ou seja caixa fechada) é \,36\\ \mathrm{m}^3.
    • Queremos a quantidade de papelão necessária (área total de superfície) para confeccionar a caixa.
  • Perguntas pedidas:
    1. Determinar a lei de formação que descreve a quantidade de papelão necessária em função de uma dimensão (por exemplo, em função da largura).
    2. Calcular a quantidade de papelão necessária quando o comprimento é \,3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definindo variáveis (sempre a primeira coisa prática):
  • Seja \;x\; a largura da base da caixa (em metros). Então \;x>0\;.
  • Como o comprimento é o triplo da largura, o comprimento é \;3x\; (em metros).
  • Seja \;h\; a altura da caixa (em metros).
Explico: escolher a largura \;x\; como variável é natural porque o enunciado relaciona comprimento e largura. No fim poderemos também expressar a área em função do comprimento se preferir — é só substituir x= comprimento/3.

Passo 3

Usar a condição do volume para relacionar \;h\; com \;x\;.
  • O volume de uma caixa retangular fechada é a área da base vezes a altura. A área da base é comprimento \times largura, isto é (3x)\cdot x = 3x^{2}.
  • Assim a condição do volume \,36\\ \mathrm{m}^{3} dá:
3x^{2} \cdot h = 36.
  • Isolando a altura \;h\;:
h = \frac{36}{3x^{2}} = \frac{12}{x^{2}}.
Comentário didático: isso significa que, para manter o volume fixo, a altura diminui quando a largura aumenta, conforme \;h=\dfrac{12}{x^{2}}.

Passo 4

Determinar a fórmula da área total de papelão necessária (superfície externa da caixa com tampa).
Vamos construir a expressão somando todas as peças de papelão que formam a caixa fechada:
  • Base: área = comprimento \times largura = (3x)\cdot x = 3x^{2}.
  • Tampa (parte superior): tem a mesma área da base, então mais 3x^{2}.
    • Soma base + tampa = 3x^{2}+3x^{2}=6x^{2}.
  • Laterais: são quatro retângulos:
    • Duas faces com dimensões comprimento \times altura: cada uma tem área (3x)\cdot h. Duas juntas: 2\cdot(3x h)=6x h.
    • Duas faces com dimensões largura \times altura: cada uma tem área x\cdot h. Duas juntas: 2\cdot(x h)=2x h.
    • Soma das quatro laterais = 6x h + 2x h = 8x h.
Portanto a área total de papelão S em função de x e h é
S(x,h)=6x^{2} + 8x h.

Passo 5

Substituir a expressão de \;h\; encontrada no Passo 3 na fórmula da área para obter a lei de formação em função só de \;x\;.
  • Lembrando que \;h=\dfrac{12}{x^{2}}, substituímos em S(x,h):
S(x)=6x^{2} + 8x\left(\frac{12}{x^{2}}\right).
  • Simplificando o segundo termo:
8x\cdot\frac{12}{x^{2}} = \frac{96x}{x^{2}} = \frac{96}{x}.
  • Logo a lei de formação é
S(x)=6x^{2} + \frac{96}{x},\qquad x>0.
Explicação do que cada termo significa:
  • 6x^{2} vem da soma da base e da tampa;
  • \dfrac{96}{x} vem da área total das quatro laterais, com a altura substituída pela relação dada pelo volume fixo.

Passo 6

Calcular a quantidade de papelão quando o comprimento é \,3\\ \mathrm{m}.
  • Como o comprimento é 3x e foi dado que esse comprimento vale 3\\ \mathrm{m}, temos
3x = 3 \quad\Rightarrow\quad x = 1\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo na lei S(x)=6x^{2}+\dfrac{96}{x}:
S(1)=6\cdot 1^{2} + \frac{96}{1} = 6 + 96 = 102.
  • Unidades: área em metros quadrados, então a quantidade de papelão necessária é \,102\\ \mathrm{m}^{2}.
Comentário motivador: pronto — com as contas direitinhas deu \,102\\ \mathrm{m}^{2}. Tá ótimo! Só lembrar de sempre checar unidades (volume em m^3 -> dimensões em m -> área em m^2).

Resposta

S(x)=6x^{2}+\frac{96}{x}\quad(x>0)
\text{Se o comprimento é }3\\ \mathrm{m}\\ (\Rightarrow x=1\\ \mathrm{m}),\\ \\ S=102\\ \mathrm{m}^{2}.é

Exercícios relacionados