Um pão pode ser fatiado de diversas formas. É evidente que quanto mais fatias tiver, menos massa tem cada fatia. Supondo que um pão tem 900 gramas. Faça o que se pede:
(a) Se cada fatia tiver 45 g em quantas fatias o pão poderá ser dividido?
(b) Se o pão for dividido em 25 fatias, quantos gramas terá cada fatia?
(c) Qual a relação entre a quantidade de fatias e a massa de cada fatia, em gramas, para este pão?
(d) Apresente um gráfico que relacione o número de fatias pela massa, em gramas, de cada uma das fatias.
(e) Considerando que a letra (c) é uma relação que satisfaz a definição de função, qual seria o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
(f) Qual conjunto você colocaria como contra-domínio?
(g) É possível determinar toda a imagem? Como podemos escrever este conjunto?
(h) Ampliando o problema, vamos considerar o domínio da função anterior como os números reais (exceto o zero), como será a imagem desta função? Faça o gráfico desta função, no plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado dá um pão com massa total de 900 gramas e pede várias coisas relacionadas a fatiar esse pão. Vou listar claramente o que é pedido e as informações dadas:
  • Massa total do pão: 900 gramas.
    As perguntas:
    (a) Se cada fatia tiver 45\\ \text{g}, em quantas fatias o pão poderá ser dividido?
    (b) Se o pão for dividido em 25 fatias, quantos gramas terá cada fatia?
    (c) Qual a relação entre a quantidade de fatias e a massa de cada fatia (em gramas) para este pão?
    (d) Apresente um gráfico que relacione o número de fatias pela massa, em gramas, de cada uma das fatias.
    (e) Considerando que a letra (c) é uma relação que satisfaz a definição de função, qual seria o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
    (f) Qual conjunto você colocaria como contra-domínio?
    (g) É possível determinar toda a imagem? Como podemos escrever este conjunto?
    (h) Ampliando o problema: se o domínio for os números reais (exceto zero), qual será a imagem desta função? Faça o gráfico desta função no plano cartesiano.

Passo 2

(a) Calcular quantas fatias de 45\\ \text{g} cabem em 900\\ \text{g}.
A ideia é dividir a massa total pela massa de cada fatia: \dfrac{900}{45}. Vou fazer a conta passo a passo para ficar bem claro:
\frac{900}{45} = \frac{900\div 45}{45\div 45} = \frac{20}{1} = 20.
Explicação simples: 45\cdot 20 = 900, então cabem exatamente 20 fatias de 45\\ \text{g}.

Passo 3

(b) Se o pão for dividido em 25 fatias, a massa de cada fatia é a massa total dividida pelo número de fatias:
\text{massa por fatia}=\frac{900}{25}.
Vamos calcular 900\div 25:
25\cdot 36 = 900,
logo
\frac{900}{25}=36.
Portanto cada fatia terá 36\\ \text{g}.

Passo 4

(c) Encontrar a relação entre número de fatias e massa de cada fatia.
Defina:
  • n = número de fatias (entrada da relação);
  • m = massa de cada fatia, em gramas (saída da relação).
    A massa de cada fatia é a massa total dividida por n. Assim a lei é
m=\frac{900}{n}.
Explicação didática: isso é uma relação de proporcionalidade inversa — se dobrar n, m fica pela metade; se n triplicar, m fica em um terço. As unidades: m está em gramas e n é um número adimensional (contagem de fatias).

Passo 5

(d) Gráfico que relaciona o número de fatias com a massa de cada fatia.
Vou primeiro construir uma tabela com pontos representativos (pegando alguns valores de n e calculando m=\dfrac{900}{n}). Isso ajuda a desenhar o gráfico na prova sem calculadora:
\begin{array}{c|c} n & m=\dfrac{900}{n}\\ (\text{g})\\hline 1 & 900\\\\ 2 & 450\\\\ 3 & 300\\\\ 4 & 225\\\\ 5 & 180\\\\ 10 & 90\\\\ 20 & 45\\\\ 25 & 36\\\\ 30 & 30\\\\ 45 & 20\\\\ 100 & 9 \end{array}
Interpretação: os pontos formam uma curva que decresce rapidamente para pequenos n e vai se aproximando de 0 quando n cresce muito (mas nunca atinge 0). Como o número de fatias, em contexto prático, é um número natural, o gráfico ideal é um conjunto de pontos discretos sobre essa curva. A forma é da hipérbole y=900/x.
Abaixo um esboço ASCII do gráfico (eixo horizontal = n, eixo vertical = m). É um desenho simplificado para visualizar: os pontos estão em uma curva decrescente. (As marcações são só indicativas.)
n → 1 5 10 20 30 50 100
m
900 | *
|
450 | *
|
300 | *
|
200 | *
|
100 | * *
|
50 | *
|
10 | *
±-------------------------------→ n
1 5 10 20 30 50 100
Na prova, o desenho correto seria um conjunto de pontos em torno da curva m=900/n; se for pedido o gráfico contínuo (estendendo n a reais), seria a hipérbole que veremos no item (h).

Passo 6

(e) Qual o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
Explicando o conceito: para ser função precisamos que cada entrada n produza um único valor m. No contexto físico de fatiar um pão, n representa número de fatias, portanto deve ser um número inteiro positivo. Além disso n não pode ser 0 (divisão por zero não faz sentido). Logo o domínio natural e mais apropriado é
\{1,2,3,\dots\},
ou em notação usual \mathbb{N}_{>0} (os números naturais positivos). Com esse domínio a lei m=\dfrac{900}{n} define uma função bem determinada.

Passo 7

(f) Qual conjunto colocar como contra-domínio?
O contra-domínio é o conjunto no qual esperamos que os valores da função se situem. Como a saída m é massa em gramas e é positiva para qualquer n positivo, um contra-domínio natural é o conjunto dos números reais positivos:
(0,\infty)\quad\text{ou}\quad \mathbb{R}_{+}.
Também se poderia escolher o conjunto dos racionais positivos, porque 900/n é racional para n\in\mathbb{N}; porém \mathbb{R}_{+} é uma escolha padrão e confortável.

Passo 8

(g) É possível determinar toda a imagem? Como escrever este conjunto?
Sim: se tomarmos o domínio como \mathbb{N}_{>0}=\{1,2,3,\dots\}, a imagem (conjunto de valores realmente assumidos por m) é
\left\{\frac{900}{n}\mid n\in\mathbb{N}_{>0}\right\}.
Observações úteis: esse conjunto é infinito e enumerável; todos os seus elementos são números racionais positivos; 0 não pertence à imagem, mas é um ponto de acumulação (ou seja, os valores se aproximam arbitrariamente de 0 quando n\to\infty).

Passo 9

(h) Agora assumindo domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} (todos os reais exceto zero), qual é a imagem e qual o gráfico?
A função estendida é f(x)=\dfrac{900}{x} com domínio x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Para qualquer y\in\mathbb{R}\setminus\{0\} existe x=\dfrac{900}{y} tal que f(x)=y. Portanto a imagem (conjunto de valores assumidos) é também
\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Em palavras: tomando todos os reais (exceto zero) como entradas, a função atinge todos os reais exceto zero como saídas — é sobrejetora nesse contexto.
Gráfico no plano cartesiano: é a hipérbole equilateral com duas ramos (um no quadrante x>0,y>0 e outro no quadrante x<0,y<0). Um esboço ASCII simples (bem aproximado):
y
^
* .
* .
* .
* .
*
---------------±---------------> x
*
* .
* .
* .
* .
Legenda: curva aproxima os eixos (assíntotas x=0 e y=0) e não os toca.
Matematicamente, as assíntotas são os eixos coordenados x=0 e y=0; comportamento: f(x)\to 0 quando |x|\to\infty, e f(x)\to\pm\infty quando x\to 0^\pm.

Resposta

(a) 20 fatias
(b) 36\\ \text{g}
(c) m=\dfrac{900}{n}
(d) Gráfico: pontos dados por m=\dfrac{900}{n} (ex.: (1,900),(2,450),(3,300),(4,225),(5,180),(10,90),(20,45),(25,36),\dots) — curva hiperbólica decrescente (esboço no passo 5).
(e) Domínio natural: \mathbb{N}_{>0}=\{1,2,3,\dots\}
(f) Contra-domínio sugerido: \mathbb{R}_{+}=(0,\infty)
(g) Imagem (domínio \mathbb{N}_{>0}): \left\{\dfrac{900}{n}\mid n\in\mathbb{N}_{>0}\right\}
(h) Se o domínio for \mathbb{R}\setminus\{0\}, a imagem é \mathbb{R}\setminus\{0\}; o gráfico é a hipérbole y=\dfrac{900}{x} com duas ramas (uma em x>0,y>0 e outra em x<0,y<0).

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