Um pão pode ser fatiado de diversas formas. É evidente que quanto mais fatias tiver, menos massa tem cada fatia. Supondo que um pão tem 900 gramas. Faça o que se pede:
(a) Se cada fatia tiver
em quantas fatias o pão poderá ser dividido?
(b) Se o pão for dividido em 25 fatias, quantos gramas terá cada fatia?
(c) Qual a relação entre a quantidade de fatias e a massa de cada fatia, em gramas, para este pão?
(d) Apresente um gráfico que relacione o número de fatias pela massa, em gramas, de cada uma das fatias.
(e) Considerando que a letra (c) é uma relação que satisfaz a definição de função, qual seria o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
(f) Qual conjunto você colocaria como contra-domínio?
(g) É possível determinar toda a imagem? Como podemos escrever este conjunto?
(h) Ampliando o problema, vamos considerar o domínio da função anterior como os números reais (exceto o zero), como será a imagem desta função? Faça o gráfico desta função, no plano cartesiano.
(a) Se cada fatia tiver
(b) Se o pão for dividido em 25 fatias, quantos gramas terá cada fatia?
(c) Qual a relação entre a quantidade de fatias e a massa de cada fatia, em gramas, para este pão?
(d) Apresente um gráfico que relacione o número de fatias pela massa, em gramas, de cada uma das fatias.
(e) Considerando que a letra (c) é uma relação que satisfaz a definição de função, qual seria o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
(f) Qual conjunto você colocaria como contra-domínio?
(g) É possível determinar toda a imagem? Como podemos escrever este conjunto?
(h) Ampliando o problema, vamos considerar o domínio da função anterior como os números reais (exceto o zero), como será a imagem desta função? Faça o gráfico desta função, no plano cartesiano.
Passo 1
O enunciado dá um pão com massa total de
gramas e pede várias coisas relacionadas a fatiar esse pão. Vou listar claramente o que é pedido e as informações dadas:
- Massa total do pão:
gramas.
As perguntas:
(a) Se cada fatia tiver, em quantas fatias o pão poderá ser dividido?
(b) Se o pão for dividido emfatias, quantos gramas terá cada fatia?
(c) Qual a relação entre a quantidade de fatias e a massa de cada fatia (em gramas) para este pão?
(d) Apresente um gráfico que relacione o número de fatias pela massa, em gramas, de cada uma das fatias.
(e) Considerando que a letra (c) é uma relação que satisfaz a definição de função, qual seria o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
(f) Qual conjunto você colocaria como contra-domínio?
(g) É possível determinar toda a imagem? Como podemos escrever este conjunto?
(h) Ampliando o problema: se o domínio for os números reais (exceto zero), qual será a imagem desta função? Faça o gráfico desta função no plano cartesiano.
Passo 2
(a) Calcular quantas fatias de
cabem em
.
A ideia é dividir a massa total pela massa de cada fatia: . Vou fazer a conta passo a passo para ficar bem claro:
A ideia é dividir a massa total pela massa de cada fatia:
Explicação simples:
, então cabem exatamente
fatias de
.
Passo 3
(b) Se o pão for dividido em
fatias, a massa de cada fatia é a massa total dividida pelo número de fatias:
Vamos calcular
:
logo
Portanto cada fatia terá
.
Passo 4
(c) Encontrar a relação entre número de fatias e massa de cada fatia.
Defina:
Defina:
-
= número de fatias (entrada da relação); -
= massa de cada fatia, em gramas (saída da relação).
A massa de cada fatia é a massa total dividida por. Assim a lei é
Explicação didática: isso é uma relação de proporcionalidade inversa — se dobrar
,
fica pela metade; se
triplicar,
fica em um terço. As unidades:
está em gramas e
é um número adimensional (contagem de fatias).
Passo 5
(d) Gráfico que relaciona o número de fatias com a massa de cada fatia.
Vou primeiro construir uma tabela com pontos representativos (pegando alguns valores de e calculando
). Isso ajuda a desenhar o gráfico na prova sem calculadora:
Vou primeiro construir uma tabela com pontos representativos (pegando alguns valores de
Interpretação: os pontos formam uma curva que decresce rapidamente para pequenos
e vai se aproximando de
quando
cresce muito (mas nunca atinge
). Como o número de fatias, em contexto prático, é um número natural, o gráfico ideal é um conjunto de pontos discretos sobre essa curva. A forma é da hipérbole
.
Abaixo um esboço ASCII do gráfico (eixo horizontal =
, eixo vertical =
). É um desenho simplificado para visualizar: os pontos estão em uma curva decrescente. (As marcações são só indicativas.)
n → 1 5 10 20 30 50 100
m
900 | *
|
450 | *
|
300 | *
|
200 | *
|
100 | * *
|
50 | *
|
10 | *
±-------------------------------→ n
1 5 10 20 30 50 100
m
900 | *
|
450 | *
|
300 | *
|
200 | *
|
100 | * *
|
50 | *
|
10 | *
±-------------------------------→ n
1 5 10 20 30 50 100
Na prova, o desenho correto seria um conjunto de pontos em torno da curva
; se for pedido o gráfico contínuo (estendendo
a reais), seria a hipérbole que veremos no item (h).
Passo 6
(e) Qual o domínio para que a relação seja a lei de formação de uma função?
Explicando o conceito: para ser função precisamos que cada entrada produza um único valor
. No contexto físico de fatiar um pão,
representa número de fatias, portanto deve ser um número inteiro positivo. Além disso
não pode ser
(divisão por zero não faz sentido). Logo o domínio natural e mais apropriado é
Explicando o conceito: para ser função precisamos que cada entrada
ou em notação usual
(os números naturais positivos). Com esse domínio a lei
define uma função bem determinada.
Passo 7
(f) Qual conjunto colocar como contra-domínio?
O contra-domínio é o conjunto no qual esperamos que os valores da função se situem. Como a saída é massa em gramas e é positiva para qualquer
positivo, um contra-domínio natural é o conjunto dos números reais positivos:
O contra-domínio é o conjunto no qual esperamos que os valores da função se situem. Como a saída
Também se poderia escolher o conjunto dos racionais positivos, porque
é racional para
; porém
é uma escolha padrão e confortável.
Passo 8
(g) É possível determinar toda a imagem? Como escrever este conjunto?
Sim: se tomarmos o domínio como , a imagem (conjunto de valores realmente assumidos por
) é
Sim: se tomarmos o domínio como
Observações úteis: esse conjunto é infinito e enumerável; todos os seus elementos são números racionais positivos;
não pertence à imagem, mas é um ponto de acumulação (ou seja, os valores se aproximam arbitrariamente de
quando
).
Passo 9
(h) Agora assumindo domínio
(todos os reais exceto zero), qual é a imagem e qual o gráfico?
A função estendida é com domínio
. Para qualquer
existe
tal que
. Portanto a imagem (conjunto de valores assumidos) é também
A função estendida é
Em palavras: tomando todos os reais (exceto zero) como entradas, a função atinge todos os reais exceto zero como saídas — é sobrejetora nesse contexto.
Gráfico no plano cartesiano: é a hipérbole equilateral com duas ramos (um no quadrante
e outro no quadrante
). Um esboço ASCII simples (bem aproximado):
y
^
^
| * . |
|---|
| * . |
| * . |
| * . |
| * |
| ---------------±---------------> x |
| * |
| * . |
| * . |
| * . |
| * . |
Legenda: curva aproxima os eixos (assíntotas
e
) e não os toca.
Matematicamente, as assíntotas são os eixos coordenados
e
; comportamento:
quando
, e
quando
.
Resposta
(a)
fatias
(b)
(c)
(d) Gráfico: pontos dados por
(ex.:
) — curva hiperbólica decrescente (esboço no passo 5).
(e) Domínio natural:
(f) Contra-domínio sugerido:
(g) Imagem (domínio
):
(h) Se o domínio for
, a imagem é
; o gráfico é a hipérbole
com duas ramas (uma em
e outra em
).