Um fabricante produz camisetas de propaganda a um custo unitário de R$ 2,00. As camisetas vêm sendo vendidas por R$ 5,00. Por este preço, são vendidas 4.000 camisetas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço e calcula que, para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 camisetas serão vendidas por mês. Qual deve ser o preço de venda das camisetas para que o lucro do fabricante seja o maior possível? Qual o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado pede pra maximizar o lucro de um fabricante que produz camisetas a R$ 2,00 cada e, vendendo a R$ 5,00, retira 4.000 unidades por mês. A cada R$ 1,00 de aumento no preço, a demanda cai em 400 camisetas. Vamos usar otimização de função quadrática para achar o preço que maximiza o lucro.
Passo 2
Definimos uma variável x que representa o aumento em reais sobre o preço atual de R$ 5,00. Assim, o preço de venda é
e a demanda mensal é
Passo 3
O lucro mensal
é receita menos custo. A receita é
e o custo é
. Então
Passo 4
Expandindo, obtemos uma função quadrática em x:
Passo 5
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
Passo 6
Isso dá
. Esse é o aumento ótimo em reais. Como é concava para baixo, é máximo.
Passo 7
Substituindo de volta no preço:
reais. A demanda fica
camisetas. O lucro máximo é
Resposta
Preço de venda ótimo: R$ 8,50; Lucro máximo: R$ 16.900,00.