Um fabricante produz camisetas de propaganda a um custo unitário de R$ 2,00. As camisetas vêm sendo vendidas por R$ 5,00. Por este preço, são vendidas 4.000 camisetas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço e calcula que, para cada R$ 1,00 de aumento no preço, menos 400 camisetas serão vendidas por mês. Qual deve ser o preço de venda das camisetas para que o lucro do fabricante seja o maior possível? Qual o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado pede pra maximizar o lucro de um fabricante que produz camisetas a R$ 2,00 cada e, vendendo a R$ 5,00, retira 4.000 unidades por mês. A cada R$ 1,00 de aumento no preço, a demanda cai em 400 camisetas. Vamos usar otimização de função quadrática para achar o preço que maximiza o lucro.

Passo 2

Definimos uma variável x que representa o aumento em reais sobre o preço atual de R$ 5,00. Assim, o preço de venda é 5,00 Assim, o preço de venda é e a demanda mensal é
e a demanda mensal é

Passo 3

O lucro mensal P é receita menos custo. A receita é pcdot q(x) e o custo é 2cdot q(x). Então
P(x)=(p-2),q(x)=(5+x-2),(4000-400x)=(x+3)(4000-400x)

Passo 4

Expandindo, obtemos uma função quadrática em x:
P(x)=-400x^2+2800x+12000

Passo 5

Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
P'(x)=-800x+2800=0

Passo 6

Isso dá x=2800800=3.5. Esse é o aumento ótimo em reais. Como é concava para baixo, é máximo.

Passo 7

Substituindo de volta no preço: p=5+3.5=8.5 reais. A demanda fica q=4000-400times3.5=2600 camisetas. O lucro máximo é
Pmax=(8.5-2)times2600=6.5times2600=16900 reais

Resposta

Preço de venda ótimo: R$ 8,50; Lucro máximo: R$ 16.900,00.

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