Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações de motores de automóveis. O cliente exige que a queda do processo ou fração defeituosa em uma etapa crítica de fabricação não exceda 5% e que o fabricante demonstre a capacidade do processo neste nível de qualidade usando alpha=0,05.
O fabricante de semicondutores pega uma amostra aleatória de 200 dispositivos e descobre que quatro deles estão com defeito.
O fabricante pode demonstrar a capacidade do processo para o cliente?
O fabricante pode demonstrar a capacidade do processo para o cliente?

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede é a gente provar, usando um teste estatístico ao nível de significância α=0,05, que a taxa real de defeitos do processo não passa de 5%. A gente tem uma amostra de n=200 e encontraram x=4 itens defeituosos. O conteúdo aqui é Teste de Hipóteses para proporção e vamos precisar da fórmula do teste Z para proporção única (quando n é grande) e da noção de erro-padrão sob a hipótese nula.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: p = 0,05 (“a taxa real de defeitos é 5%”)
H₁: p < 0,05 (“a taxa real de defeitos é menor que 5%”)
É um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Calcular a proporção amostral:
hat p = xn = 4200 = 0,02
Isso significa que, na amostra, 2% deram defeito.

Passo 4

Encontrar o erro-padrão da proporção sob H₀ (usando p₀=0,05):
sigmahat p = raizp0,(1 - p0)n = raiz0,05 times 0,95200 approx 0,01541

Passo 5

Calcular a estatística de teste Z:
Z = hat p - p0sigmahat p = 0,02 - 0,050,01541 approx -1,947

Passo 6

Determinar o valor crítico para α=0,05 (unilateral à esquerda):
Zcrit = -1,645 (quantil 5% da Normal padrão) ã
Como é menor que , caímos na região de rejeição de H₀.

Passo 7

Conclusão: rejeitamos H₀ ao nível de 5%, o que mostra evidência de que a taxa real de defeitos é menor que 5%.

Resposta

Sim, usando α=0,05 o teste indica que a fração de defeituosos é estatisticamente inferior a 5%, então o fabricante consegue demonstrar a capacidade do processo.

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