Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int\left(4 \operatorname{cosec} x \operatorname{cotg} x+2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada e, depois, verificar o resultado calculando a derivada da resposta. As informações do problema são:
  • Calcular \displaystyle \int\!\left(4\,\operatorname{cosec}x\operatorname{cotg}x+2\,\operatorname{sec}^{2}x\right)\,dx.
  • Depois verificar o resultado encontrando a derivada da antiderivada obtida.

Passo 2

Primeiro, vou reescrever as funções trigonométricas usando a notação padrão em LaTeX:
  • \operatorname{cosec}x é \csc x.
  • \operatorname{cotg}x é \cot x.
    Então o integrando é \displaystyle 4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^{2}x.
Agora algumas fórmulas básicas que vamos usar (essas são coisas que caem direto na prova; memorize um pouco!):
  • A derivada de \csc x é \dfrac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr) = -\csc x\cot x.
  • A derivada de \tan x é \dfrac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr) = \operatorname{sec}^{2}x.
Essas identidades nos dizem quais primitivas (antiderivadas) aparecem naturalmente:
  • Como \dfrac{d}{dx}\bigl(-\csc x\bigr)=\csc x\cot x, segue que \displaystyle \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C.
  • Como \dfrac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x, segue que \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Passo 3

Usar propriedades lineares da integral para separar o problema em pedaços mais fáceis:
\int\!\left(4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^{2}x\right)\,dx = \int 4\csc x\cot x\,dx \;+\; \int 2\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Também posso puxar constantes para fora das integrais:
\int 4\csc x\cot x\,dx = 4\int \csc x\cot x\,dx, \qquad \int 2\operatorname{sec}^{2}x\,dx = 2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 4

Calcular cada integral conhecida usando as fórmulas do Passo 2.
Para a primeira:
4\int \csc x\cot x\,dx = 4\bigl(-\csc x\bigr) = -4\csc x.
Expliquei: reconheci que \csc x\cot x é a derivada (com sinal trocado) de \csc x, logo sua primitiva é -\csc x.
Para a segunda:
2\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = 2\bigl(\tan x\bigr) = 2\tan x.
Expliquei: \operatorname{sec}^{2}x é a derivada de \tan x, então sua primitiva é \tan x.

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C:
\int\!\left(4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^{2}x\right)\,dx = -4\csc x + 2\tan x + C.

Passo 6

Agora verifico o resultado calculando a derivada de -4\csc x + 2\tan x + C e mostrando que volta ao integrando.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-4\csc x + 2\tan x + C\bigr) = -4\frac{d}{dx}(\csc x) + 2\frac{d}{dx}(\tan x) + 0.
Usando as fórmulas:
\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x\cot x,\qquad \frac{d}{dx}(\tan x) = \operatorname{sec}^{2}x,
temos
-4\frac{d}{dx}(\csc x) + 2\frac{d}{dx}(\tan x) = -4\bigl(-\csc x\cot x\bigr) + 2\operatorname{sec}^{2}x = 4\csc x\cot x + 2\operatorname{sec}^{2}x.
Isso é exatamente o integrando original, portanto a verificação está completa.

Resposta

-4\csc x + 2\tan x + C

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