Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a antiderivação (integração indefinida) da função dada e, depois, verificar o resultado calculando a derivada da resposta. As informações do problema são:
- Calcular
. - Depois verificar o resultado encontrando a derivada da antiderivada obtida.
Passo 2
Primeiro, vou reescrever as funções trigonométricas usando a notação padrão em LaTeX:
-
é . -
é .
Então o integrando é.
Agora algumas fórmulas básicas que vamos usar (essas são coisas que caem direto na prova; memorize um pouco!):
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Essas identidades nos dizem quais primitivas (antiderivadas) aparecem naturalmente:
- Como
, segue que . - Como
, segue que .
Passo 3
Usar propriedades lineares da integral para separar o problema em pedaços mais fáceis:
Também posso puxar constantes para fora das integrais:
Passo 4
Calcular cada integral conhecida usando as fórmulas do Passo 2.
Para a primeira:
Expliquei: reconheci que
é a derivada (com sinal trocado) de
, logo sua primitiva é
.
Para a segunda:
Expliquei:
é a derivada de
, então sua primitiva é
.
Passo 5
Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração
:
Passo 6
Agora verifico o resultado calculando a derivada de
e mostrando que volta ao integrando.
Derivando termo a termo:
Usando as fórmulas:
temos
Isso é exatamente o integrando original, portanto a verificação está completa.