Faça uma aplicação da regra da cadeia para verificar que, a mudança de variáveis para coordenadas polares x=r cos theta and y=r sen theta, fornece as fórmulas & partial upartial r=partial upartial x cos theta+partial upartial y sen theta & partial upartial theta=-partial upartial x r sen theta+partial upartial y r cos theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a regra da cadeia para mudar as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta), onde x = r cos theta e . Queremos mostrar que, ao fazer essa mudança, as derivadas parciais de uma função y = r sen theta em relação a u(x, y) e r ficam assim:
Pra resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas quando mudamos as variáveis de uma função.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa entender que u é uma função de x e y, mas como x e y dependem de r e theta, a gente pode pensar em u como uma função composta, ou seja, u(r, theta) = u(x(r, theta), y(r, theta)). Isso significa que para achar as derivadas de u em relação a r e theta, a gente precisa usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de u em relação a r. Pela regra da cadeia, temos:
partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r
Agora, vamos encontrar partial xpartial r e partial ypartial r.

Passo 4

Sabemos que:
Então, derivando x = r cos theta e y = r sen theta em relação a x:
r
E derivando partial xpartial r = cos theta em relação a y:

Passo 5

Voltando à expressão da derivada de u em relação a r:
E aí está a primeira fórmula que queríamos provar!

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de u em relação a theta. Novamente, usamos a regra da cadeia:
partial upartial theta = partial upartial x cdot partial xpartial theta + partial upartial y cdot partial ypartial theta
Vamos achar partial xpartial theta e partial ypartial theta.

Passo 7

Derivando x em relação a theta:
E derivando partial xpartial theta = -r sen theta em relação a y:
theta

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada de u em relação a theta:
Organizando os termos:
Essa é a segunda fórmula que queríamos provar!

Resposta

Assim, usando a regra da cadeia, mostramos que a mudança para coordenadas polares resulta em:

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