Faça uma aplicação da regra da cadeia para verificar que, a mudança de variáveis para coordenadas polares
and
, fornece as fórmulas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usarmos a regra da cadeia para mudar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
, onde
e . Queremos mostrar que, ao fazer essa mudança, as derivadas parciais de uma função
em relação a
e
ficam assim:
Pra resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas quando mudamos as variáveis de uma função.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa entender que
é uma função de
e
, mas como
e
dependem de
e
, a gente pode pensar em
como uma função composta, ou seja,
. Isso significa que para achar as derivadas de
em relação a
e
, a gente precisa usar a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. Pela regra da cadeia, temos:
Agora, vamos encontrar
e
.
Passo 4
Sabemos que:
Então, derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Passo 5
Voltando à expressão da derivada de
em relação a
:
E aí está a primeira fórmula que queríamos provar!
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Vamos achar
e
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada de
em relação a
:
Organizando os termos:
Essa é a segunda fórmula que queríamos provar!
Resposta
Assim, usando a regra da cadeia, mostramos que a mudança para coordenadas polares resulta em: