Um fazendeiro deseja cercar uma área retangular de terra com 1200 m^2 de área. Ele quer minimizar o custo da cerca. Suponha que o custo de cercar os lados de comprimento x e y seja dado por C(x, y) = 2x + 3y. Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões x e y do retângulo que minimizam o custo da cerca.

Passo 1

Então, temos um fazendeiro que quer cercar uma área retangular de terra que tem uma área de . Ele quer fazer isso gastando o mínimo possível com a cerca. O custo para cercar os lados de comprimento e é dado pela função . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de cálculo para encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função sujeita a uma restrição. Aqui, nossa função a minimizar é o custo e a restrição é a área .

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a função de Lagrange. Essa função combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (λ). A fórmula fica assim:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
  1. Da primeira equação, isolamos :
  1. Da segunda equação:
Como ambas expressões são iguais a , podemos igualá-las:
  1. Substituímos na restrição da área:
  1. Finalmente, encontramos :

Resposta

As dimensões que minimizam o custo da cerca são e .

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