[5] (2,0 pontos) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) = x^2 i + y e^x j de uma partícula que se move sobre a parábola x = y^2 + 1 de 1,0 a (2,1).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o trabalho realizado por um campo de força em uma partícula que se move ao longo de uma parábola específica. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, mais precisamente a integração de linha para encontrar o trabalho realizado por um campo de força. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho da partícula e então calcular a integral de linha usando as componentes do campo de força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho que a partícula está seguindo. A parábola dada é . Sabemos que a partícula vai de a . Para facilitar a integração, vamos parametrizar esse caminho em termos de .
Como , podemos usar como nosso parâmetro. Assim, definimos:
E o intervalo para vai de 0 a 1, já que a partícula começa em e termina em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente ao caminho:
Esse vetor nos ajuda a expressar , que é usado na integral de linha para calcular o trabalho.

Passo 4

O trabalho realizado pelo campo de força ao longo do caminho é dado pela integral de linha:
Substituindo e , temos:
E,

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Então, o trabalho fica:

Passo 6

Vamos agora resolver a integral separadamente:
Primeiro, resolvemos . Podemos usar a substituição , então :
Avaliado de 0 a 1:
Agora, para , usamos a substituição , então ou :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes para obter o trabalho total:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é .

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