Faça uma aproximação da função y=x \cdot e^{-2 x} no intervalo [2,6] por um polinômio grau 2 utilizando o método dos quadrados mínimos.
Passo 1
O enunciado pede aproximar a função y=x\,e^{-2x} no intervalo [2,6] por um polinômio de grau 2 usando o método dos quadrados mínimos.
Dados fornecidos: \quad A função a aproximar é f(x)=x\,e^{-2x}. \quad O intervalo é [2,6]. \quad O polinômio deve ter grau 2, i.e. três coeficientes desconhecidos.
Pergunta explícita: encontrar o polinômio de grau 2 que minimiza \displaystyle \int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.
Passo 2
Escolhemos um polinômio de grau 2 com coeficientes a_0,a_1,a_2:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
O método dos quadrados mínimos (na norma L^{2} sobre o intervalo) consiste em minimizar a função dos coeficientes
Calculamos primeiro as integrais polinomiais S_{k}=\displaystyle\int_{2}^{6}x^{k}\,dx que aparecem em M.
Fórmula básica: \displaystyle\int x^{k}dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}+C. Portanto, para o intervalo [2,6],
Usamos integração por partes recorrente. Seja I_{n}=\int x^{n}e^{-2x}dx. Com u=x^{n}, dv=e^{-2x}dx temos du=n x^{n-1}dx, v=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}, daí a recorrência
I_{n}=-\frac{x^{n}}{2}e^{-2x}+\frac{n}{2}I_{n-1}.
Aplicando isso em integração definida de 2 a 6 e simplificando, é conveniente definir A=e^{-4} e B=e^{-12} (pois e^{-2\cdot 2}=e^{-4} e e^{-2\cdot 6}=e^{-12}). Calculamos passo a passo:
Interpretação final: o polinômio de grau 2 que minimiza o erro quadrático \displaystyle\int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}dx tem coeficientes acima. Você pode usar estes coeficientes na prova para avaliar aproximações em pontos do intervalo; se precisar arredondar, três casas decimais daria a_{0}\approx 0{,}0866, a_{1}\approx -0{,}0370, a_{2}\approx 0{,}003873.