Faça uma aproximação da função y=x \cdot e^{-2 x} no intervalo [2,6] por um polinômio grau 2 utilizando o método dos quadrados mínimos.

Passo 1

O enunciado pede aproximar a função y=x\,e^{-2x} no intervalo [2,6] por um polinômio de grau 2 usando o método dos quadrados mínimos.
Dados fornecidos:
\quad A função a aproximar é f(x)=x\,e^{-2x}.
\quad O intervalo é [2,6].
\quad O polinômio deve ter grau 2, i.e. três coeficientes desconhecidos.
Pergunta explícita: encontrar o polinômio de grau 2 que minimiza \displaystyle \int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.

Passo 2

Escolhemos um polinômio de grau 2 com coeficientes a_0,a_1,a_2:
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
O método dos quadrados mínimos (na norma L^{2} sobre o intervalo) consiste em minimizar a função dos coeficientes
E(a_{0},a_{1},a_{2})=\int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.
Para obter o mínimo tomamos derivadas parciais e anulamos:
\frac{\partial E}{\partial a_{j}}=-2\int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)\,x^{j}\,dx=0,\qquad j=0,1,2.
Essas três equações são as condições normais (normal equations). Em forma explícita:
\int_{2}^{6}p(x)\,x^{j}\,dx=\int_{2}^{6}f(x)\,x^{j}\,dx,\qquad j=0,1,2.
Escrevendo p(x) e trocando soma e integral obtemos o sistema linear para a_0,a_1,a_2:
\sum_{i=0}^{2} a_{i}\int_{2}^{6}x^{i+j}\,dx=\int_{2}^{6}x^{j}f(x)\,dx,\qquad j=0,1,2.

Passo 3

Vamos escrever o sistema na forma matricial M\vec a=\vec b com
M_{j,i}=\int_{2}^{6}x^{i+j}\,dx,\qquad b_{j}=\int_{2}^{6}x^{j}f(x)\,dx=\int_{2}^{6}x^{j+1}e^{-2x}\,dx,
onde i,j\in\{0,1,2\} e \vec a=(a_{0},a_{1},a_{2})^{T}. Explicitamente:
\begin{pmatrix} \displaystyle\int_{2}^{6}x^{0} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{1} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{2}\\[6pt] \displaystyle\int_{2}^{6}x^{1} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{2} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{3}\\[6pt] \displaystyle\int_{2}^{6}x^{2} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{3} & \displaystyle\int_{2}^{6}x^{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \displaystyle\int_{2}^{6}x^{1}e^{-2x} \\[6pt] \displaystyle\int_{2}^{6}x^{2}e^{-2x} \\[6pt] \displaystyle\int_{2}^{6}x^{3}e^{-2x} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos primeiro as integrais polinomiais S_{k}=\displaystyle\int_{2}^{6}x^{k}\,dx que aparecem em M.
Fórmula básica: \displaystyle\int x^{k}dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}+C. Portanto, para o intervalo [2,6],
S_{k}=\frac{6^{\,k+1}-2^{\,k+1}}{k+1}.
Em particular:
\begin{aligned} S_{0}&=\int_{2}^{6}x^{0}dx=6-2=4,\\[4pt] S_{1}&=\frac{6^{2}-2^{2}}{2}=\frac{36-4}{2}=16,\\[4pt] S_{2}&=\frac{6^{3}-2^{3}}{3}=\frac{216-8}{3}=\frac{208}{3},\\[4pt] S_{3}&=\frac{6^{4}-2^{4}}{4}=\frac{1296-16}{4}=320,\\[4pt] S_{4}&=\frac{6^{5}-2^{5}}{5}=\frac{7776-32}{5}=\frac{7744}{5}. \end{aligned}]

Passo 5

Agora precisamos das integrais com e^{-2x}:
J_{n}=\int_{2}^{6}x^{n}e^{-2x}\,dx,\qquad n=0,1,2,3.
Usamos integração por partes recorrente. Seja I_{n}=\int x^{n}e^{-2x}dx. Com u=x^{n}, dv=e^{-2x}dx temos du=n x^{n-1}dx, v=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}, daí a recorrência
I_{n}=-\frac{x^{n}}{2}e^{-2x}+\frac{n}{2}I_{n-1}.
Aplicando isso em integração definida de 2 a 6 e simplificando, é conveniente definir A=e^{-4} e B=e^{-12} (pois e^{-2\cdot 2}=e^{-4} e e^{-2\cdot 6}=e^{-12}). Calculamos passo a passo:
Primeiro
J_{0}=\int_{2}^{6}e^{-2x}dx=\Big[-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\Big]_{2}^{6}=\tfrac{1}{2}\bigl(A-B\bigr).
Para n=1: pela recorrência
J_{1}=\Big[-\tfrac{x}{2}e^{-2x}\Big]_{2}^{6}+\tfrac{1}{2}J_{0}.
Calculando o termo em colchetes:
\Big[-\tfrac{x}{2}e^{-2x}\Big]_{2}^{6}= -\tfrac{6}{2}B -\bigl(-\tfrac{2}{2}A\bigr)=A-3B.
Então
J_{1}=A-3B+\tfrac{1}{2}J_{0}=A-3B+\tfrac{1}{4}(A-B)=\tfrac{1}{4}\bigl(5A-13B\bigr).
Para n=2: pela recorrência
J_{2}=\Big[-\tfrac{x^{2}}{2}e^{-2x}\Big]_{2}^{6}+J_{1}.
O termo em colchetes é -\tfrac{36}{2}B-(-\tfrac{4}{2}A)=2A-18B. Assim
J_{2}=2A-18B+J_{1}=2A-18B+\tfrac{1}{4}(5A-13B)=\tfrac{1}{4}\bigl(13A-85B\bigr).
Para n=3: pela recorrência
J_{3}=\Big[-\tfrac{x^{3}}{2}e^{-2x}\Big]_{2}^{6}+\tfrac{3}{2}J_{2}.
O termo em colchetes é -\tfrac{216}{2}B-(-\tfrac{8}{2}A)=4A-108B. Portanto
J_{3}=4A-108B+\tfrac{3}{2}J_{2}=4A-108B+\tfrac{3}{8}\bigl(13A-85B\bigr)=\tfrac{1}{8}\bigl(71A-1119B\bigr).
Resumo simbólico (útil para conferir):
\begin{aligned} J_{0}&=\tfrac{1}{2}(A-B),\\[4pt] J_{1}&=\tfrac{1}{4}(5A-13B),\\[4pt] J_{2}&=\tfrac{1}{4}(13A-85B),\\[4pt] J_{3}&=\tfrac{1}{8}(71A-1119B), \end{aligned}
onde A=e^{-4} e B=e^{-12}.]

Passo 6

Substituímos S_{k} e J_{n} no sistema linear. O sistema fica:
\begin{pmatrix} S_{0} & S_{1} & S_{2}\\[4pt] S_{1} & S_{2} & S_{3}\\[4pt] S_{2} & S_{3} & S_{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}J_{1}\J_{2}\J_{3}\end{pmatrix}.
Com os valores:
\begin{pmatrix} 4 & 16 & \tfrac{208}{3}\\[6pt] 16 & \tfrac{208}{3} & 320\\[6pt] \tfrac{208}{3} & 320 & \tfrac{7744}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4}(5A-13B)\\[6pt] \tfrac{1}{4}(13A-85B)\\[6pt] \tfrac{1}{8}(71A-1119B) \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora avalio numericamente A e B para obter vetor numérico no lado direito. Usando aproximações:
A=e^{-4}\approx 0{,}01831563888873418,\qquad B=e^{-12}\approx 0{,}00000614421235332821.
Calculando os J's numericamente:
\begin{aligned} J_{1}&=\tfrac{1}{4}(5A-13B)\approx 0{,}02287457992077,\\[4pt] J_{2}&=\tfrac{1}{4}(13A-85B)\approx 0{,}05939526187638,\\[4pt] J_{3}&=\tfrac{1}{8}(71A-1119B)\approx 0{,}16169187343459. \end{aligned}
E a matriz numérica é:
\begin{pmatrix} 4 & 16 & 69{,}3333333333\\[4pt] 16 & 69{,}3333333333 & 320\\[4pt] 69{,}3333333333 & 320 & 1548{,}8 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolvemos o sistema numérico por eliminação de Gauss (mostro os passos numéricos principais).
  1. Divido a primeira linha por 4:
R_{1}\leftarrow R_{1}/4:\quad [1,\;4,\;17{,}3333333333]\;=\;0{,}0057186449801925.
  1. Elimino abaixo:
R_{2}\leftarrow R_{2}-16R_{1}\Rightarrow [0,\;5{,}3333333333,\;42{,}6666666667]= -0{,}0321030578067.
R_{3}\leftarrow R_{3}-69{,}3333333333R_{1}\Rightarrow [0,\;42{,}6666666667,\;347{,}0222222222]= -0{,}23480084519209.
  1. Note que \dfrac{42{,}6666666667}{5{,}3333333333}=8. Elimino:
R_{3}\leftarrow R_{3}-8R_{2}\Rightarrow [0,\;0,\;5{,}688888884]=0{,}02202361726151.
  1. Obtenho a_{2} por divisão:
a_{2}=\frac{0{,}02202361726151}{5{,}688888884}\approx 0{,}003872906.
  1. Substituo em R_{2} para obter a_{1}:
5{,}3333333333\,a_{1}+42{,}6666666667\,a_{2}=-0{,}0321030578067,
a_{1}\approx\frac{-0{,}0321030578067-42{,}6666666667\cdot 0{,}003872906}{5{,}3333333333}\approx -0{,}03700232.
  1. Finalmente, calculo a_{0} a partir da primeira equação:
a_{0}+4a_{1}+17{,}3333333333\,a_{2}=0{,}0057186449801925,
a_{0}\approx 0{,}0057186449801925 -4(-0{,}03700232)-17{,}3333333333\cdot 0{,}003872906 \approx 0{,}086597555.
Portanto, obtivemos os coeficientes aproximados:
a_{0}\approx 0{,}086597555,\qquad a_{1}\approx -0{,}03700232,\qquad a_{2}\approx 0{,}003872906.

Passo 9

Interpretação final: o polinômio de grau 2 que minimiza o erro quadrático \displaystyle\int_{2}^{6}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}dx tem coeficientes acima. Você pode usar estes coeficientes na prova para avaliar aproximações em pontos do intervalo; se precisar arredondar, três casas decimais daria a_{0}\approx 0{,}0866, a_{1}\approx -0{,}0370, a_{2}\approx 0{,}003873.

Resposta

p(x)=0{,}086597555-0{,}03700232\,x+0{,}003872906\,x^{2}

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