y^{\prime}-(\operatorname{sen} x) y=2 \operatorname{sen} x, \quad y(\pi / 2)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y' - \operatorname{sen} x \, y = 2\operatorname{sen} x, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) a equação diferencial: } y' - \operatorname{sen} x \, y = 2\operatorname{sen} x,çã
\text{(ii) a condição inicial: } y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.çã

Passo 2

Identificamos que a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde, por comparação, temos
p(x) = -\operatorname{sen} x,\qquad q(x)=2\operatorname{sen} x.
Método que vamos usar (explicação didática): para esse tipo de equação usamos um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se transforma na derivada do produto \mu(x)y. A fórmula para o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Isto funciona porque
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu\big(y'+\tfrac{\mu'}{\mu}y\big)
e escolhemos \mu de modo que \tfrac{\mu'}{\mu}=p(x).

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(x). Usando p(x)=-\operatorname{sen} x,
\int p(x)\,dx=\int -\operatorname{sen} x\,dx=\cos x,
portanto
\mu(x)=e^{\cos x}.
Comentário pedagógico: a integral de -\operatorname{sen} x é \cos x porque a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{\cos x}. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
e^{\cos x}\big(y' - \operatorname{sen} x\,y\big) = (e^{\cos x}y)'.
Logo a equação multiplicada fica
(e^{\cos x}y)' = 2\operatorname{sen} x\,e^{\cos x}.
Explicação rápida: ao diferenciar e^{\cos x}y obtemos e^{\cos x}y' + (e^{\cos x})'y e (e^{\cos x})' = e^{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen} x), por isso a soma simplifica para e^{\cos x}(y' - \operatorname{sen} x\,y).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (e^{\cos x}y)'\,dx = \int 2\operatorname{sen} x\,e^{\cos x}\,dx.
O lado esquerdo integra para e^{\cos x}y. Para o lado direito fazemos a substituição u=\cos x, assim du=-\operatorname{sen} x\,dx. Portanto
\int 2\operatorname{sen} x\,e^{\cos x}\,dx = -2\int e^{u}\,du = -2e^{u}+C = -2e^{\cos x}+C.
Concluímos que
e^{\cos x}y = -2e^{\cos x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral (com constante arbitrária C):
y(x) = -2 + C e^{-\cos x}.
Agora aplicamos a condição inicial \displaystyle y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Como \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, temos
1 = y\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 + C e^{0} = -2 + C.
Daí tiramos
C=3.
Não escrevo a solução final aqui por enquanto; o resultado numérico para a constante é C=3.

Resposta

y(x)=3e^{-\cos x}-2

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