Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaz essa equação diferencial e a condição inicial. Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Identificamos que a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
onde, por comparação, temos
Método que vamos usar (explicação didática): para esse tipo de equação usamos um fator integrante
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se transforma na derivada do produto
. A fórmula para o fator integrante é
Isto funciona porque
e escolhemos
de modo que
.
Passo 3
Calculemos o fator integrante
. Usando
,
portanto
Comentário pedagógico: a integral de
é
porque a derivada de
é
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. O lado esquerdo vira a derivada do produto:
Logo a equação multiplicada fica
Explicação rápida: ao diferenciar
obtemos
e
, por isso a soma simplifica para
.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. Para o lado direito fazemos a substituição
, assim
. Portanto
Concluímos que
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral (com constante arbitrária
):
Agora aplicamos a condição inicial
. Como
, temos
Daí tiramos
Não escrevo a solução final aqui por enquanto; o resultado numérico para a constante é
.