Faça uma interpolação da função y=\cos (\pi x) no intervalo \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] pelo método de Lagrange utilizando os pontos x_{0}=-1 / 2, x_{1}=0 e x_{2}=1 / 2. Determine a estimativa do erro na aproximação.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: interpolar a função \;y=\cos(\pi x)\; no intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right] pelos pontos \;x_0=-\tfrac{1}{2},\;x_1=0,\;x_2=\tfrac{1}{2}\; e determinar uma estimativa do erro da aproximação. Informações dadas (avaliadas nos nós):
y_0=\cos\!\big(\pi(-\tfrac{1}{2})\big)=\cos(-\tfrac{\pi}{2})=0,
y_1=\cos(0)=1,
y_2=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0.
Então os pares são \;(-\tfrac{1}{2},0),\;(0,1),\;(\tfrac{1}{2},0).\n
(Pronto — agora que identificamos o que é pedido e todos os dados, partimos para construir o polinômio.)

Passo 2

Fórmula de Lagrange e ideia didática: o polinômio interpolador de grau \le 2 é dado por
P_2(x)=\sum_{k=0}^{2} y_k \, L_k(x),
onde cada polinômio base de Lagrange L_k(x) é definido por
L_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne k}}^{2}\frac{x-x_j}{x_k-x_j}.
Explicando: L_k(x) vale 1 em x=x_k e 0 em todos os outros nós x_j ( j\ne k). Assim P_2(x) combina os valores y_k com essas “funções seletoras” para coincidir com y_k nos nós.

Passo 3

Calcular explicitamente os polinômios base L_0,L_1,L_2.
Para k=0 (com x_0=-\tfrac{1}{2}):
L_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot\frac{x-x_2}{x_0-x_2} =\frac{x-0}{-\tfrac{1}{2}-0}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}} =\frac{x}{-1/2}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-1} = \big(-2x\big)\big( - (x-\tfrac{1}{2})\big) =2x(x-\tfrac{1}{2}).
Para k=1 (com x_1=0):
L_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot\frac{x-x_2}{x_1-x_2} =\frac{x+\tfrac{1}{2}}{0+\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{0-\tfrac{1}{2}} =\frac{x+\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{2}} =2(x+\tfrac{1}{2})\cdot(-2)(x-\tfrac{1}{2}) = -4(x+\tfrac{1}{2})(x-\tfrac{1}{2}).
Simplificando o produto:
L_1(x)=-4\big(x^2-\tfrac{1}{4}\big)=1-4x^2.
Para k=2 (com x_2=\tfrac{1}{2}):
L_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot\frac{x-x_1}{x_2-x_1} =\frac{x+\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}\cdot\frac{x-0}{\tfrac{1}{2}-0} =\frac{x+\tfrac{1}{2}}{1}\cdot\frac{x}{\tfrac{1}{2}} =(x+\tfrac{1}{2})\cdot 2x =2x(x+\tfrac{1}{2}).
Observação rápida: como y_0=y_2=0, os termos com L_0,L_2 desaparecerão no somatório.

Passo 4

Montar o polinômio interpolador usando P_2(x)=\sum y_k L_k(x). Como y_0=0,y_2=0,y_1=1, temos
P_2(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x)=1\cdot L_1(x)=L_1(x).
Como já simplificámos L_1(x)=1-4x^2, concluímos
P_2(x)=1-4x^2.
Interpretação rápida: o polinómio é quadrático, par (simétrico) e passa pelos três pontos óbvios (-1/2,0),(0,1),(1/2,0).

Passo 5

Fórmula do resto (erro) de Lagrange e o que significa: para f(x)=\cos(\pi x) e interpolador de grau 2,
existe \xi entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2} tal que para todo x no intervalo
R_2(x)=f(x)-P_2(x)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).
Aqui f^{(3)} é a terceira derivada de f e o produto (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) é conhecido — só nos falta estimar f^{(3)}(\xi).

Passo 6

Calcular as derivadas necessárias de f(x)=\cos(\pi x):
f'(x)=-\pi\sin(\pi x),
f''(x)=-\pi^2\cos(\pi x),
f^{(3)}(x)=\pi^3\sin(\pi x).
Assim a expressão do resto fica
R_2(x)=\frac{\pi^3\sin(\pi \xi)}{6}\,(x+\tfrac{1}{2})\,x\,(x-\tfrac{1}{2})
para algum \xi entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Estimativa do módulo do erro: como |\sin(\pi \xi)|\le 1 para todo \xi, obtemos o majorante
|R_2(x)|\le \frac{\pi^3}{6}\,\big| (x+\tfrac{1}{2})\,x\,(x-\tfrac{1}{2})\big|.
Agora precisamos achar o máximo do fator cúbico absoluto no intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].

Passo 8

Maximizar \big| (x+\tfrac{1}{2})x(x-\tfrac{1}{2})\big| em \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].
Defina g(x)=(x+\tfrac{1}{2})x(x-\tfrac{1}{2})=x^3-\tfrac{1}{4}x.
Derivada:
g'(x)=3x^2-\tfrac{1}{4}.
Zerando: 3x^2-\tfrac{1}{4}=0\Rightarrow x^2=\tfrac{1}{12}\Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{2\sqrt{3}}.
Esses pontos estão dentro do intervalo. Avaliando g nesses pontos:
g\!\Big(\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big)=\Big(\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big)^3-\tfrac{1}{4}\Big(\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Big) =\frac{1}{24\sqrt{3}}-\frac{1}{8\sqrt{3}}=-\frac{1}{12\sqrt{3}}.
O valor absoluto é \dfrac{1}{12\sqrt{3}}. Nos extremos x=\pm\tfrac{1}{2} e x=0, a função vale 0. Portanto o máximo do valor absoluto é
\max_{x\in[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]}\big| (x+\tfrac{1}{2})x(x-\tfrac{1}{2})\big|=\frac{1}{12\sqrt{3}}.

Passo 9

Concluir a estimativa final do erro usando o máximo encontrado:
|R_2(x)|\le \frac{\pi^3}{6}\cdot\frac{1}{12\sqrt{3}}=\frac{\pi^3}{72\sqrt{3}}.
Se quiseres um valor aproximado,
\frac{\pi^3}{72\sqrt{3}}\approx 0{,}249.
Portanto, em todo o intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right] o erro máximo na aproximação por P_2 é no máximo \dfrac{\pi^3}{72\sqrt{3}} (aprox. 0{,}249).

Resposta

P_2(x)=1-4x^2
|R_2(x)|\le \dfrac{\pi^3}{72\sqrt{3}}\approx 0{,}249

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