Faça uma interpolação da função y=\cos (\pi x) no intervalo \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] pelo método de Lagrange utilizando os pontos x_{0}=-1 / 2, x_{1}=0 e x_{2}=1 / 2. Determine a estimativa do erro na aproximação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: interpolar a função \;y=\cos(\pi x)\; no intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right] pelos pontos \;x_0=-\tfrac{1}{2},\;x_1=0,\;x_2=\tfrac{1}{2}\; e determinar uma estimativa do erro da aproximação. Informações dadas (avaliadas nos nós):
Então os pares são \;(-\tfrac{1}{2},0),\;(0,1),\;(\tfrac{1}{2},0).\n
(Pronto — agora que identificamos o que é pedido e todos os dados, partimos para construir o polinômio.)
Passo 2
Fórmula de Lagrange e ideia didática: o polinômio interpolador de grau \le 2 é dado por
P_2(x)=\sum_{k=0}^{2} y_k \, L_k(x),
onde cada polinômio base de Lagrange L_k(x) é definido por
Explicando: L_k(x) vale 1 em x=x_k e 0 em todos os outros nós x_j (j\ne k). Assim P_2(x) combina os valores y_k com essas “funções seletoras” para coincidir com y_k nos nós.
Passo 3
Calcular explicitamente os polinômios base L_0,L_1,L_2.
Interpretação rápida: o polinómio é quadrático, par (simétrico) e passa pelos três pontos óbvios (-1/2,0),(0,1),(1/2,0).
Passo 5
Fórmula do resto (erro) de Lagrange e o que significa: para f(x)=\cos(\pi x) e interpolador de grau 2,
existe \xi entre -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2} tal que para todo x no intervalo
Agora precisamos achar o máximo do fator cúbico absoluto no intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].
Passo 8
Maximizar \big| (x+\tfrac{1}{2})x(x-\tfrac{1}{2})\big| em \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right].
Defina g(x)=(x+\tfrac{1}{2})x(x-\tfrac{1}{2})=x^3-\tfrac{1}{4}x.
Derivada:
g'(x)=3x^2-\tfrac{1}{4}.
Zerando: 3x^2-\tfrac{1}{4}=0\Rightarrow x^2=\tfrac{1}{12}\Rightarrow x=\pm \tfrac{1}{2\sqrt{3}}.
Esses pontos estão dentro do intervalo. Avaliando g nesses pontos:
Portanto, em todo o intervalo \left[-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right] o erro máximo na aproximação por P_2 é no máximo \dfrac{\pi^3}{72\sqrt{3}} (aprox. 0{,}249).