Faça os cálculos dos números complexos e apresente as respostas no Formato Polar e Retangular:
\quad Z_{8}=\frac{(-3+j 3) \times(-16-j 14)}{(12+j 24)-(4-j 16)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número complexo
Z_{8} = \frac{(-3 + j\,3)\times(-16 - j\,14)}{(12 + j\,24)\;-\;(4 - j\,16)}
e apresentar o resultado nas formas retangular a + j\,b e polar r\angle\varphi. Vamos usar operações com números complexos (multiplicação, soma, subtração, divisão) e depois converter coordenadas retangulares em módulo e argumento.

Passo 2

Calcular o numerador ( -3 + j\,3)\times(-16 - j\,14) pelo produto de duas soma de termos:
(-3)(-16) + (-3)(-j\,14) + (j\,3)(-16) + (j\,3)(-j\,14).
Aplicando j^2 = -1:
(-3)(-16) = 48,\quad (-3)(-j\,14)=j\,42,\quad (j\,3)(-16)=-j\,48,\quad (j\,3)(-j\,14)=-j^2\,(3\cdot14)=+42.
Somando esses termos:
48 + 42 + j\,(42 - 48) = 90 - j\,6.
Logo o numerador é 90 - j\,6.

Passo 3

Calcular o denominador (12 + j\,24) - (4 - j\,16):
(12-4) + j\,(24 - (-16)) = 8 + j\,40.

Passo 4

Dividir \dfrac{90 - j\,6}{8 + j\,40} racionalizando o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 8 - j\,40:
\frac{(90 - j\,6)(8 - j\,40)}{(8 + j\,40)(8 - j\,40)} \;=\;\frac{480 - j\,3648}{8^2 + 40^2} \;=\;\frac{480 - j\,3648}{1664}.

Passo 5

Simplificar as frações:
\Re\{Z_{8}\} = \frac{480}{1664} = \frac{15}{52}, \quad \Im\{Z_{8}\} = -\frac{3648}{1664} = -\frac{57}{26}.
Assim, na forma retangular:
Z_{8} = \frac{15}{52} \;-\; j\,\frac{57}{26}.

Passo 6

Converter para forma polar. O módulo é
r = \sqrt{\Bigl(\frac{15}{52}\Bigr)^{2} + \Bigl(-\frac{57}{26}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{13221}{2704}} = \frac{\sqrt{13221}}{52} \approx 2{,}21.
O argumento (ângulo) é
\varphi = \arctan\!\Bigl(\frac{\Im\{Z_8\}}{\Re\{Z_8\}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(-7{,}6\Bigr) \approx -82{,}5^\circ
(ângulo no quarto quadrante).

Resposta

Forma retangular:
Z_{8} = \frac{15}{52} \;-\; j\,\frac{57}{26} \approx 0{,}2885 \;-\; j\,2{,}1923.
Forma polar:
Z_{8} \approx 2{,}21 \,\angle\,(-82{,}5^\circ).

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