Faça um comparativo tão abrangente quanto puder entre a Eletrostática e a Magnetostática.

Passo 1

O enunciado pede um comparativo amplo entre eletrostática e magnetostática, dois regimes estacionários das equações de Maxwell. Para isso precisaremos das formas integral e diferencial das leis de Gauss e de Ampère, das propriedades de divergência e rotação dos campos, das formulações em termos de potenciais, das condições de contorno em superfícies materiais e da energia armazenada nos campos.

Passo 2

Começamos pelas equações de campo em regime estático. Na eletrostática temos a lei de Gauss em forma integral:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}
e, em forma diferencial,
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
com \rho densidade volumétrica de carga. Na magnetostática aplicamos a lei de Ampère integral:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}I_{\text{enc}}
e, em forma diferencial,
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J},
com \mathbf{J} densidade de corrente.

Passo 3

As propriedades de divergência e rotação caracterizam a natureza dos campos. Em eletrostática o campo é livre de circulação:
\nabla\times\mathbf{E}=0,
logo \mathbf{E} é um campo conservativo. Em magnetostática o campo não possui fontes magnéticas isoladas:
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
o que implica linhas de campo fechadas ou que saem e entram em ímãs permanentemente.

Passo 4

Podemos introduzir potenciais para simplificar. Na eletrostática existe potencial escalar \varphi tal que
\mathbf{E}=-\nabla\varphi,
e \varphi satisfaz a equação de Poisson
\nabla^{2}\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Na magnetostática, define-se vetor potencial \mathbf{A} com
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A},
sujeito à condição de gauge (por exemplo, de Coulomb \nabla\cdot\mathbf{A}=0), levando à equação vetorial de Poisson
\nabla^{2}\mathbf{A}=-\mu_{0}\mathbf{J}.

Passo 5

As condições de contorno em superfícies materiais distinguem dois regimes. Na eletrostática:
(\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})\cdot\hat{\mathbf{n}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}, \quad (\mathbf{E}_{2}-\mathbf{E}_{1})\times\hat{\mathbf{n}}=0,
onde \sigma é densidade de carga superficial. Na magnetostática:
(\mathbf{B}_{2}-\mathbf{B}_{1})\cdot\hat{\mathbf{n}}=0, \quad (\mathbf{H}_{2}-\mathbf{H}_{1})\times\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{K},
sendo \mathbf{K} corrente superficial e \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu.

Passo 6

A energia armazenada no campo também difere. Em eletrostática a densidade é
u_{E}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}|\mathbf{E}|^{2},
enquanto em magnetostática
u_{B}=\frac{1}{2\mu_{0}}|\mathbf{B}|^{2}.
Em ambos os casos integrou-se sobre o volume para obter a energia total.

Passo 7

Por fim, destacamos analogias e diferenças principais:
1. Ambos são limites estáticos das equações de Maxwell.
2. Eletrostática tem fontes escalares ( \rho), campo conservativo; magnetostática tem fontes vetoriais ( \mathbf{J}), campo solenoidal.
3. Potenciais: escalar em eletrostática, vetorial em magnetostática.
4. Não há monopólos magnéticos ( \nabla\cdot\mathbf{B}=0), mas há cargas elétricas livres ( \nabla\cdot\mathbf{E}\neq0).
5. A energia e as condições de contorno seguem análogos, trocando (\mathbf{E},\rho,\varepsilon_{0})\leftrightarrow(\mathbf{H},\mathbf{J},\mu_{0}).

Resposta

Em síntese, na eletrostática tratamos de distribuições de cargas em repouso que geram um campo \mathbf{E} conservativo, descrito pela lei de Gauss e pelo potencial escalar \varphi. Na magnetostática, correntes estacionárias dão origem a um campo \mathbf{B} solenoidal, regido pela lei de Ampère e pelo potencial vetor \mathbf{A}. As equações diferenciais e integrais, as condições de contorno e a energia armazenada apresentam estrutura análoga, mas com diferenças fundamentais na natureza das fontes (escalar versus vetorial) e na topologia das linhas de campo (abertas versus fechadas).

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