Explique a lei de Ampère.

Passo 1

O objetivo é entender a Lei de Ampère, que faz parte da magnetostática e relaciona a circulação do campo magnético \mathbf{B} ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que atravessa a superfície limitada por esse caminho. Para isso, vamos precisar de noções de integral de linha, corrente elétrica e regra da mão direita.

Passo 2

A forma integral da Lei de Ampère diz que, para qualquer curva fechada C,
\oint_{C} \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde
\displaystyle\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao longo de C,
\mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo, e
I_{\text{enc}} é a soma algébrica das correntes que atravessam qualquer superfície \Sigma cuja fronteira seja C.

Passo 3

Para determinar o sinal de I_{\text{enc}} e o sentido da circulação, usamos a regra da mão direita:
– Aponte o polegar na direção do vetor normal à superfície \Sigma.
– Os dedos curvados indicam o sentido em que percorremos C para computar \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}.
Se a corrente atravessa \Sigma no mesmo sentido do polegar, conta-se como positiva.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes, a forma integral acima se converte na forma diferencial
\nabla\times \mathbf{B} \;=\;\mu_{0}\,\mathbf{J},
onde \mathbf{J} é a densidade de corrente volumétrica. Essa equação local mostra que a “rotação” (ou curl) de \mathbf{B} em cada ponto está relacionada à corrente que passa por ali.

Passo 5

A Lei de Ampère é exata em regime estacionário (correntes constantes no tempo). Se houver correntes variáveis no tempo, precisamos incluir a corrente de deslocamento e usar a Lei de Ampère–Maxwell:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_{0}\,I_{\text{enc}} +\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{d}{dt}\!\int_{\Sigma}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 6

Exemplo clássico: para um fio reto e infinito com corrente I, escolhemos C como um círculo de raio r concentrado no fio. Por simetria, \|\mathbf{B}\| é constante em C e tangente ao círculo. Então
B\,(2\pi r)=\mu_{0}I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.

Resposta

A Lei de Ampère em sua forma integral é
\boxed{\displaystyle \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\,I_{\text{enc}}, }
e em forma diferencial é
\boxed{\displaystyle \nabla\times \mathbf{B} \;=\;\mu_{0}\,\mathbf{J}. }

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