1. (a) Faça uma conjectura sobre o conjunto dos pontos do espaço tridimensional que são equidistantes da origem e do ponto ( 1,0,0 ).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y,z) em \mathbb{R}^3 que satisfazem \mathrm{dist}(P,(0,0,0)) = \mathrm{dist}(P,(1,0,0)).
O conteúdo é geometria analítica no espaço, usando distância euclidiana e locus de pontos.

Passo 2

Seja P=(x,y,z). A distância de P à origem é \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} e a distância de P ao ponto (1,0,0) é \sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2}. A condição de equidistância é \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2 + z^2}.

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
x^2 + y^2 + z^2 = (x-1)^2 + y^2 + z^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
x^2 + y^2 + z^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + z^2 \quad\Longrightarrow\quad 0 = -2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

A equação x = \tfrac12 descreve o plano perpendicular ao eixo x que fica exatamente na posição x=\tfrac12.

Resposta

O conjunto dos pontos é o plano
x = \frac12.

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