1. (a) Considere uma caixa com lados de comprimento a, b e c. Use o Teorema de Pitágoras para mostrar que a diagonal dessa caixa tem comprimento d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. [Sugestão: Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de uma diagonal da base e, novamente, para encontrar o comprimento de uma diagonal da caixa.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma caixa retangular cujas arestas têm comprimentos a, b e c, a diagonal espacial d satisfaz
d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.
O conteúdo principal é o Teorema de Pitágoras aplicado primeiro na base da caixa (um retângulo de lados a e b) e depois no triângulo reto que envolve essa diagonal de base e a aresta de comprimento c.

Passo 2

Na base da caixa temos um retângulo de lados a e b. Pelo Teorema de Pitágoras, a diagonal da base — que chamaremos de e — satisfaz
e = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.

Passo 3

Agora considere o triângulo reto formado pelos segmentos de comprimentos e (a diagonal da base), c (a aresta vertical) e d (a diagonal espacial da caixa). Aplicando novamente o Teorema de Pitágoras, obtemos
d = \sqrt{e^{2} + c^{2}}.
Substituindo e^{2} = a^{2} + b^{2} vem
d = \sqrt{\bigl(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\bigr)^{2} + c^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

Resposta

d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

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