Faça o desenho de vetores não nulos do tipo u, v, w e z tais que u+v+w+z=\overrightarrow{0}.

Passo 1

O enunciado pede um desenho (uma construção geométrica) de quatro vetores não nulos \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{z} tais que
\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}+\mathbf{z}=\overrightarrow{0}.
Informações relevantes e condições:
  • Cada um dos vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{z} deve ser não nulo (ou seja, comprimento maior que zero).
  • A soma vetorial total deve ser o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  • O enunciado pede um desenho; então preciso indicar vetores concretos (coordenadas) e explicar como desenhá-los tip-to-tail para obter uma figura fechada.

Passo 2

Conceito básico e regra que vamos usar (aula rápida, sem pânico):
  • Vetores no plano podem ser representados por pares de coordenadas: por exemplo \mathbf{u}=(u_x,u_y), \mathbf{v}=(v_x,v_y).
  • Soma vetorial é feita componente a componente:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x,\;u_y+v_y).
  • A condição \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}+\mathbf{z}=\overrightarrow{0} significa, em coordenadas,
u_x+v_x+w_x+z_x=0 \qquad\text{e}\qquad u_y+v_y+w_y+z_y=0.
  • Geometricamente, somar vetores pelo método “tip-to-tail” (ponta de um ligada à cauda do seguinte) e obter soma nula é exatamente traçar um polígono fechado cujas arestas são esses vetores. Ou seja: a soma ser zero ⇔ as setas colocadas tip-to-tail formam um laço fechado.

Passo 3

Escolha simples e muito utilizada para desenhar: quatro vetores que formam um quadrado. Escolho vetores com coordenadas inteiras fáceis de desenhar:
\mathbf{u}=(1,0),\qquad \mathbf{v}=(0,1),\qquad \mathbf{w}=(-1,0),\qquad \mathbf{z}=(0,-1).
Verificação das condições:
  • Todos são não nulos: \mathbf{u}\neq\overrightarrow{0}, \mathbf{v}\neq\overrightarrow{0}, \mathbf{w}\neq\overrightarrow{0}, \mathbf{z}\neq\overrightarrow{0}.
  • Soma em componentes:
u_x+v_x+w_x+z_x = 1+0+(-1)+0 = 0,
u_y+v_y+w_y+z_y = 0+1+0+(-1) = 0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}+\mathbf{z}=\overrightarrow{0}. Bingo.

Passo 4

Como desenhar passo a passo (faça isso num papel quadriculado ou desenhe eixos cartesianos):
  1. Desenhe um sistema de eixos x e y.
  2. Comece na origem (0,0). Desenhe \mathbf{u}=(1,0) como uma seta da origem até o ponto (1,0).
  3. A partir da ponta de \mathbf{u} (ou seja, do ponto (1,0)), desenhe \mathbf{v}=(0,1) como uma seta que vai até o ponto (1,1).
  4. A partir da ponta de \mathbf{v} (ponto (1,1)), desenhe \mathbf{w}=(-1,0) que leva ao ponto (0,1).
  5. A partir da ponta de \mathbf{w} (ponto (0,1)), desenhe \mathbf{z}=(0,-1) que volta ao ponto (0,0).
    O resultado é um quadrado fechado: as quatro setas, colocadas tip-to-tail, formam um polígono fechado, o que corresponde à soma vetorial nula.

Passo 5

Outro método geral (dica prática para a prova): escolha qualquer três vetores não nulos \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} e defina
\mathbf{z}= -(\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}).
Assim a condição é satisfeita automaticamente. Exemplo numérico alternativo (para treinar):
  • Escolher \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{v}=(-1,2), \mathbf{w}=(-1,-1).
  • Calcular \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=(2-1-1,\;1+2-1)=(0,2).
  • Definir \mathbf{z}=(0,-2), que é não nulo. Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}+\mathbf{z}=(0,2)+(0,-2)=\overrightarrow{0}.
Desenhe tip-to-tail exatamente como no exemplo anterior: as quatro setas fecharão um polígono.

Passo 6

Observações finais e dicas de prova (ânimo!):
  • Não é necessário que os vetores sejam perpendiculares nem de mesmo comprimento; qualquer conjunto que feche um polígono funciona.
  • Para checar em concursos/provas, faça sempre a soma componente a componente (cheque as coordenadas x e y separadamente).
  • Na prova, se pedirem apenas “desenhe”, um quadrado como no exemplo é a solução mais rápida e clara.
  • Se pedirem vetores não nulos explícitos, escreva as coordenadas e mostre a soma dando \overrightarrow{0} como fiz acima.

Resposta

Um exemplo simples: \mathbf{u}=(1,0),\\ \mathbf{v}=(0,1),\\ \mathbf{w}=(-1,0),\\ \mathbf{z}=(0,-1), pois \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}+\mathbf{z}=\overrightarrow{0}.

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