Faça um diagrama representando as curvas de escoamento (Tensão vs Taxa de deformação) para os fluidos newtonianos, binghanianos, dilatantes, pseudoplásticos e de Herschel-Bulkley.
a) Explique o significado dos coeficientes de ajustes ( \mathrm{n}, \mathrm{k}, \mu, \tau o ) contidos nos modelos reológicos destes fluidos.
b) Como a viscosidade aparente varia com a taxa de deformação para estes fluidos?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
1. Um diagrama qualitativo de tensão de cisalhamento \tau versus taxa de deformação \dot\gamma para cinco tipos de fluidos (newtoniano, Bingham, pseudoplástico, dilatante e Herschel–Bulkley).
2. A explicação do significado dos parâmetros \mu, \tau_0, k e n que aparecem nos modelos reológicos desses fluidos.
3. Um comentário de como a viscosidade aparente varia com \dot\gamma para cada um desses fluidos.
Para resolver usaremos as equações clássicas:
– Newtoniano: \tau = \mu\,\dot\gamma
– Bingham: \tau = \tau_0 + \mu_p\,\dot\gamma
– Power-law (pseudoplástico/dilatante): \tau = k\,\dot\gamma^n
– Herschel–Bulkley: \tau = \tau_0 + k\,\dot\gamma^n

Passo 2

Diagrama esquemático de \tau vs. \dot\gamma:
 τ
 |
 Dilatante
 /
 /
 /
 H-B / (\(\tau=\tau 0+\) k\(\cdot\gamma\)̇^n)
 /
 /
 Bingham __/__ / (\(\tau=\tau 0+\mu\)p\(\cdot\gamma\)̇)
 / /
 / /
 Newtoniano ____/_________ (\(\tau=\mu\cdot\gamma\)̇)
 /
 /
 /
 /
 /
 / Pseudoplástico
 (\(\tau=\) k\(\cdot\gamma\)̇^n, n<1)
 └──────────────────\(\to\gamma\)̇
Legenda
– Newtoniano: reta passando pela origem, declive \mu.
– Bingham: reta paralela à do newtoniano, porém deslocada de \tau_0 no eixo vertical.
– Pseudoplástico n<1: curva que sai da origem e é côncava para baixo (aumenta menos que linear).
– Dilatante n>1: curva que sai da origem e é côncava para cima (aumenta mais que linear).
– Herschel–Bulkley: inicia em \tau_0 (yield stress) e depois segue comportamento de power-law com expoente n.

Passo 3

Significado dos parâmetros \mu (Viscosidade dinâmica do fluido newtoniano)
– É a constante de proporcionalidade em \tau = \mu\,\dot\gamma. \tau_0 (Tensão de escoamento ou yield stress)
– É o valor mínimo de \tau necessário para iniciar o escoamento nos modelos de Bingham e Herschel–Bulkley. \mu_p (Viscosidade plástica do fluido de Bingham)
– É a declividade da reta no regime de escoamento após ter ultrapassado \tau_0. k (Índice de consistência no modelo power-law ou Herschel–Bulkley)
– É o fator de escala que dá a “consistência” do fluido; unidades de \mathrm{Pa\cdots^n}. n (Índice de comportamento de fluxo ou flow-behavior index)
– Diz se o fluido é pseudoplástico ( n<1, afinamento de cisalhamento) ou dilatante ( n>1, espessamento). Em n=1 o modelo power-law reduz-se a um fluido newtoniano de viscosidade k.

Passo 4

Variação da viscosidade aparente \eta_{\mathrm{app}}=\tau/\dot\gamma com \dot\gamma
– Newtoniano:
\eta_{\mathrm{app}}=\frac{\tau}{\dot\gamma}=\mu\quad\text{(constante)}
– Bingham:
\eta_{\mathrm{app}}=\frac{\tau_0}{\dot\gamma}+\mu_p\quad\text{(decai de modo assintótico a }\mu_p\text{ à medida que }\dot\gamma\to\infty)óà
– Pseudoplástico n<1, \tau=k\dot\gamma^n:
\eta_{\mathrm{app}}=k\,\dot\gamma^{\,n-1}\quad\text{(decrescente com }\dot\gamma\text{)}
– Dilatante n>1, \tau=k\dot\gamma^n:
\eta_{\mathrm{app}}=k\,\dot\gamma^{\,n-1}\quad\text{(crescente com }\dot\gamma\text{)}
– Herschel–Bulkley:
\eta_{\mathrm{app}}=\frac{\tau_0}{\dot\gamma}+k\,\dot\gamma^{\,n-1}\quad\text{(combina yield stress e variação power-law; comporta- mento depende de }n\text{)}çã

Resposta

Segue o diagrama e as explicações supresas acima, com:
(a) Significado de \mu, \tau_0, \mu_p, k e n.
(b) Comportamento da viscosidade aparente para cada fluido.

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